Постановка задачи и общий подход.

Дана периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой A = 10B, длительностью τ и периодом T. Функция за один период (центрованная в нуле):

u(t) = 10B при -τ/2 ≤ t ≤ τ/2, и u(t) = 0 при τ/2 < t ≤ T.

Найдем коэффициенты комплексного (или гармонического) ряда Фурье. Общая формула для коэффициента C_n (n — целое, включая ноль), если импульс симметрично расположен вокруг нуля:

C_n = (1/T) ∫_{-τ/2}^{τ/2} A e^{-j n ω0 t} dt = (A/T) · τ · (sin( n ω0 τ /2 ) / ( n ω0 τ /2 ) ),

где ω0 = 2π / T — круговая фундаментальная частота. Для n = 0 это даёт постоянную составляющую (DC): C_0 = A τ / T.

Удобно ввести аргумент alpha_n = n π τ / T. Тогда

C_n = A (τ / T) · ( sin(alpha_n) / alpha_n ).

Амплитудный спектр: |C_n| = A (τ / T) · |sin(alpha_n) / alpha_n|. Фазовый спектр: φ_n = 0, если C_n > 0; φ_n = π (или -π) если C_n < 0; для C_n = 0 фаза не определена (гармоника отсутствует).

Частоты гармоник. f0 = 1/T = 1 kHz (T = 1 ms). Гармоники на частотах f_n = n·f0.

Случай (а): τ = 0.5 ms, T = 1 ms (скважность D = τ/T = 0.5).

• DC: C_0 = A·D = 10B · 0.5 = 5.0 B.
• alpha_n = n π D = n π/2. Тогда sin(alpha_n) принимает значения {+1,0,-1,0,+1,...} для n=1,2,3,4,5,...
• Поэтому нечетные гармоники присутствуют, четные равны нулю. Для нечетных n (n = 1,3,5,...) имеем |sin(alpha_n)/alpha_n| = 2/(n π). Поэтому

Амплитуда для нечетного n: |C_n| = A D · 2/(n π) = 10·0.5·2/(n π) = 10/(n π) B.

• n = 1: |C1| = 10/(1·π) ≈ 3.1831 B, φ1 = 0.
• n = 2: |C2| = 0 (отсутствует).
• n = 3: |C3| = 10/(3π) ≈ 1.0610 B, φ3 = π (так как sin(3π/2) = −1, знак отрицательный).
• n = 4: 0.
• n = 5: |C5| = 10/(5π) ≈ 0.63662 B, φ5 = 0.
• и т.д.; амплитуды убывают пропорционально 1/n, фазы чередуются в соответствии с знаком sin(nπ/2).

Временной график: прямоугольные импульсы амплитуды 10B длительностью 0.5 ms, повторяющиеся через 1 ms. Центр импульса в t = 0, т.е. импульс занимает интервал −0.25 ms ... +0.25 ms.

Спектральный график (амплитудный): дискретные линии на частотах n·1 kHz; ненулевые линии только при нечетных n, их высоты ≈ 10/(n π). Фазовый график: 0 для n = 1,5,9,... и π для n = 3,7,11,...

Случай (б): τ = 0.25 ms, T = 1 ms (скважность D = 0.25).

• DC: C_0 = A·D = 10B · 0.25 = 2.5 B.
• alpha_n = n π D = n π/4.
• Общий вид амплитуды: |C_n| = 2.5 · |sin(n π/4) / (n π/4)|.

Ниже приведены значения для первых гармоник (ориентировочно):

• n = 1: alpha = π/4, |sin/alpha| ≈ 0.9003163 → |C1| ≈ 2.25079 B, φ1 = 0.
• n = 2: alpha = π/2, |sin/alpha| = 0.6366197 → |C2| ≈ 1.59155 B, φ2 = 0.
• n = 3: alpha = 3π/4, |sin/alpha| ≈ 0.3001054 → |C3| ≈ 0.75026 B, φ3 = 0.
• n = 4: alpha = π, sin = 0 → |C4| = 0 (нулевая гармоника).
• n = 5: alpha = 5π/4, |sin/alpha| ≈ 0.1800633 → |C5| ≈ 0.45016 B, φ5 = π (так как sin отрицателен).
• n = 6: alpha = 3π/2, |sin/alpha| ≈ 0.2122066 → |C6| ≈ 0.53052 B, φ6 = π.
• n = 7: |C7| ≈ 0.32154 B, φ7 = π.
• n = 8: alpha = 2π, sin = 0 → |C8| = 0.
• и т.д.; нули появляются для n = m / D = 4, 8, 12,... (целые m), т.е. каждые 4-ю гармонику.

Временной график: импульсы амплитуды 10B длительностью 0.25 ms, повторяются каждые 1 ms; импульс занимает −0.125 ms ... +0.125 ms.

Спектральный график (амплитудный): дискретные линии на n·1 kHz с амплитудами, указанными выше, с нулями на n = 4,8,12,...; фазовый график меняет значение с 0 на π там, где sin(nπ/4) меняет знак.

Как строить диаграммы (инструкция для графика).

1. Временная диаграмма: по оси времени отложить один-пару периодов T; в каждом периоде от −τ/2 до +τ/2 поставить уровень 10B, в остальное время 0.
2. Амплитудный спектр: по горизонтали отложить частоту f (или номер гармоники n); на частотах f = n·f0 поставить штрихи высоты |C_n|. Также можно нарисовать огибающую |A·(τ/T)·sin(alpha)/alpha|.
3. Фазовый спектр: на тех же частотах отложить φ_n = 0 или π в зависимости от знака C_n (при C_n = 0 штрих отсутствует или фаза не определяется).

Замечания.

• Для симметричного относительно нуля прямоугольного импульса коэффициенты C_n действительны (нет комплексной экспоненты смещения), поэтому фаза только 0 или π в зависимости от знака.
• При D = 0.5 спектр содержит только нечетные гармоники (классический прямоугольный сигнал 50% заполнения). При меньшей заполненности появляются и чётные гармоники, а нули спектра располагаются через 1/D гармонику (n = m/D).
• Если нужно, я могу дать более подробные таблицы значений |C_n| и φ_n для большего числа гармоник и/или подготовить готовые изображения временных и спектральных диаграмм.