Для того чтобы доказать данное утверждение, давайте разберем шаги, которые помогут нам понять связь между проекцией ускорения, временем и изменением проекции скорости.

• Проекция ускорения ax — это изменение скорости тела в единицу времени вдоль оси x.

• Если мы построим график проекции ускорения ax по оси времени t, то область, ограниченная графиком и осью времени, будет представлять собой площадь.

• Когда ax > 0, это означает, что ускорение направлено в ту же сторону, что и движение. В этом случае площадь, ограниченная графиком и осью времени, будет находиться выше оси времени, что соответствует положительному значению.
• Когда ax < 0, ускорение направлено в противоположную сторону. Площадь, ограниченная графиком и осью времени, будет находиться ниже оси времени, что соответствует отрицательному значению.

• Согласно определению ускорения, мы знаем, что ускорение — это производная скорости по времени: ax = dVx/dt.
• Интегрируя ускорение по времени от 0 до t, мы получаем изменение скорости:

Таким образом, площадь под графиком проекции ускорения ax от 0 до t равна интегралу:

∆Vx = ∫(ax dt) от 0 до t.

• Если ax > 0, то площадь будет положительной, и ∆Vx будет положительным, что означает увеличение скорости.
• Если ax < 0, то площадь будет отрицательной, и ∆Vx будет отрицательным, что означает уменьшение скорости.

Таким образом, мы доказали, что площадь фигуры, ограниченной графиком проекции ускорения ax и осью времени t, будет со знаком «+», если ax > 0, и со знаком «–», если ax < 0, а эта площадь численно равна изменению проекции скорости ∆Vx за время от 0 до t.