Решение задачи:

1. Время подъёма ракеты до высоты h:

$t_1 = \sqrt{\frac{h}{2g}}$.

2. Скорость, которую ракета приобретает на высоте h:

$v = at_1 = 4gt_1$.

3. Уравнение для времени спуска ступени с высоты h:

$h = 4gt_1t_2 + \frac{gt_2^2}{2}$.

4. Перепишем квадратное уравнение относительно $t_2$ в виде:

$(t_2)^2 + 8t_1t_2 - \frac{2h}{g} = 0$.

5. Корень этого уравнения (отрицательный, разумеется, отбрасываю):

$t_2 = (-8t_1 + \sqrt{(64t_1^2 + \frac{8h}{g})})/2$.

6. Подставим выражение для $t_1$ и получим:

$t_2 = \sqrt(\frac{h}{g})(\sqrt{10} - \sqrt{8})$.

7. Общее время полёта:

$\Delta t = t_1 + t_2$.

8. Выражение для высоты:

$h = \frac{g\Delta t^2}{\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{10} - \sqrt{8}}^2$.

9. Подставляя известные значения, получаем:

$h \approx 14,47$ км.

Объяснение решения:

В задаче рассматривается движение ракеты, которая стартует вертикально вверх с ускорением $a = 4g$. От неё отделяется первая ступень, которая падает на землю через время $\Delta t$ после старта. Необходимо найти высоту, на которой произошло отделение.

Для решения задачи используется закон сохранения энергии. В момент отделения первой ступени ракета обладает кинетической энергией, равной потенциальной энергии ступени на этой высоте. Это позволяет выразить высоту через скорость ракеты и ускорение.

Также используется тот факт, что время подъёма ракеты равно времени её спуска с той же высоты. Это позволяет получить уравнение для времени полёта ступени.

После ряда преобразований получается выражение для высоты, которое подставляется в исходные данные.