Как астронавты, подлетев на космическом модуле к неизвестной планете, могут определить среднюю плотность вещества планеты, если они облетели её на низкой круговой орбите и узнали, что время одного полного оборота модуля составляет Т = 1,5 ч? При этом и...
Как астронавты, подлетев на космическом модуле к неизвестной планете, могут определить среднюю плотность вещества планеты, если они облетели её на низкой круговой орбите и узнали, что время одного полного оборота модуля составляет Т = 1,5 ч? При этом известна гравитационная постоянная G = 6,67 • 10-11 н-м/кг² и число т = 3,14. Какова будет средняя плотность планеты, если считать её идеальным шаром, и как представить ответ в г/см³, округляя до десятых?
Чтобы определить среднюю плотность вещества планеты, астронавты могут использовать данные о времени оборота космического модуля на низкой круговой орбите. Давайте разберем, как это сделать шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем радиус орбиты
Для начала воспользуемся формулой, связывающей период обращения (Т) и радиус орбиты (R) для круговой орбиты:
T = 2 * π * √(R / g)
где g – ускорение свободного падения на поверхности планеты. Мы можем выразить g через среднюю плотность планеты (ρ) и радиус (R) следующим образом:
g = G * M / R²
где M – масса планеты, которую можно выразить через плотность:
M = ρ * V = ρ * (4/3 * π * R³)
Таким образом, мы можем подставить M в выражение для g:
g = G * (ρ * (4/3 * π * R³)) / R²
g = (4/3) * π * G * ρ * R
Теперь подставим это значение g в формулу для T:
T = 2 * π * √(R / ((4/3) * π * G * ρ * R))
T = 2 * π * √(3 / (4 * π * G * ρ))
Теперь мы можем выразить среднюю плотность ρ:
ρ = (3 * (2 * π / T)²) / (4 * π * G)
Шаг 2: Подставим известные значения
Теперь подставим известные значения в формулу. Мы знаем, что T = 1,5 ч = 1,5 * 3600 с = 5400 с (переведем часы в секунды), и G = 6,67 * 10^-11 н-м/кг².
ρ = (3 * (2 * 3,14 / 5400)²) / (4 * 3,14 * 6,67 * 10^-11)
Шаг 3: Вычислим значение
1. Сначала вычислим (2 * 3,14 / 5400):
(2 * 3,14) = 6,28
6,28 / 5400 ≈ 0,001165
2. Теперь возведем это значение в квадрат:
(0,001165)² ≈ 0,00000136
3. Умножим на 3:
3 * 0,00000136 ≈ 0,00000408
4. Теперь вычислим знаменатель:
4 * 3,14 * 6,67 * 10^-11 ≈ 8,38 * 10^-10
5. Делим числитель на знаменатель:
ρ ≈ 0,00000408 / (8,38 * 10^-10) ≈ 4871,3 кг/м³
Шаг 4: Переведем в г/см³
Чтобы перевести плотность из кг/м³ в г/см³, нужно знать, что 1 кг/м³ = 0,001 г/см³. Следовательно:
ρ ≈ 4871,3 * 0,001 = 4,8713 г/см³
Округляя до десятых, получаем:
Ответ: Средняя плотность планеты составляет примерно 4,9 г/см³.
