Каковы проекции, модуль и выражение для вектора силы, действующего на частицы в точке A(3,1,2), если потенциальная энергия частицы задаётся функцией U=-3xy²z?

Физика Колледж Потенциальная энергия и силы вектор силы проекции вектора модуль вектора потенциальная энергия функция U частицы в точке A физика 12 класс Новый

Чтобы найти вектор силы, действующий на частицы в точке A(3,1,2), нам необходимо воспользоваться градиентом потенциальной энергии. Вектор силы F можно выразить через потенциальную энергию U следующим образом:

F = -grad(U)

Градиент функции U в трехмерном пространстве определяется как вектор, компоненты которого равны частным производным функции U по соответствующим координатам x, y и z:

grad(U) = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z)

Теперь найдем частные производные функции U = -3xy²z:

1. ∂U/∂x:
   • У нас есть U = -3xy²z.
   • Частная производная по x будет: ∂U/∂x = -3y²z.
2. ∂U/∂y:
   • Частная производная по y будет: ∂U/∂y = -6xyz.
3. ∂U/∂z:
   • Частная производная по z будет: ∂U/∂z = -3xy².

Теперь мы можем записать градиент функции U:

grad(U) = (-3y²z, -6xyz, -3xy²)

Теперь подставим координаты точки A(3,1,2) в градиент:

1. Для ∂U/∂x:
   • Подставляем y = 1 и z = 2: ∂U/∂x = -3(1)²(2) = -6.
2. Для ∂U/∂y:
   • Подставляем x = 3 и z = 2: ∂U/∂y = -6(3)(1)(2) = -36.
3. Для ∂U/∂z:
   • Подставляем x = 3 и y = 1: ∂U/∂z = -3(3)(1)² = -9.

Таким образом, градиент в точке A(3,1,2) будет равен:

grad(U) = (-6, -36, -9)

Теперь найдем вектор силы:

F = -grad(U) = (6, 36, 9)

Теперь мы можем найти модуль вектора силы:

|F| = √(Fx² + Fy² + Fz²)

Где Fx = 6, Fy = 36, Fz = 9:

1. Fx² = 6² = 36
2. Fy² = 36² = 1296
3. Fz² = 9² = 81

Теперь подставим значения в формулу для модуля:

|F| = √(36 + 1296 + 81) = √(1413)

Таким образом, вектор силы, действующий на частицы в точке A(3,1,2), имеет проекции:

Fx = 6, Fy = 36, Fz = 9

Модуль вектора силы:

|F| = √(1413)

И выражение для вектора силы:

F = (6, 36, 9)