Какова амплитуда колебаний материальной точки массой 10 г, создающей гармонические колебания с периодом 1 с и начальной фазой π/6, если максимальная кинетическая энергия равна 0,02 Дж?

Физика Университет Гармонические колебания амплитуда колебаний гармонические колебания максимальная кинетическая энергия Период колебаний материальная точка физика колебаний начальная фаза масса точки

Чтобы найти амплитуду колебаний материальной точки, нам нужно использовать формулы, связанные с гармоническими колебаниями. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание терминов

• Амплитуда (A) — это максимальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия.
• Период (T) — это время, за которое происходит одно полное колебание.
• Максимальная кинетическая энергия (E_max) — это максимальная энергия, которую система может иметь в момент, когда материальная точка проходит через положение равновесия.

Шаг 2: Формула для максимальной кинетической энергии

Максимальная кинетическая энергия для гармонических колебаний выражается формулой:

E_max = (1/2) * m * ω² * A²

где:

• m — масса тела (в кг),
• ω — угловая частота, которая связана с периодом T: ω = 2π/T,
• A — амплитуда колебаний.

Шаг 3: Подставляем известные данные

В нашем случае:

• m = 10 г = 0,01 кг (переводим граммы в килограммы),
• T = 1 с, следовательно, ω = 2π/1 = 2π рад/с,
• E_max = 0,02 Дж.

Шаг 4: Подставляем значения в формулу

Теперь подставим известные значения в формулу для максимальной кинетической энергии:

0,02 = (1/2) * 0,01 * (2π)² * A²

Шаг 5: Упрощаем уравнение

Сначала найдем (2π)²:

(2π)² = 4π² ≈ 39,478.

Теперь подставим это значение в уравнение:

0,02 = (1/2) * 0,01 * 39,478 * A².

Умножим обе стороны уравнения на 2:

0,04 = 0,01 * 39,478 * A².

Теперь делим обе стороны на 0,01:

4 = 39,478 * A².

Шаг 6: Находим амплитуду A

Теперь делим обе стороны на 39,478:

A² = 4 / 39,478.

A² ≈ 0,1015.

Теперь находим A:

A ≈ √0,1015 ≈ 0,318.

Шаг 7: Ответ

Таким образом, амплитуда колебаний материальной точки составляет примерно 0,318 м.

Чтобы найти амплитуду колебаний, давайте сначала вспомним некоторые формулы, связанные с гармоническими колебаниями.

Гармонические колебания описываются следующим уравнением:

x(t) = A * cos(ωt + φ),

где:

• x(t) - смещение в зависимости от времени;
• A - амплитуда колебаний;
• ω - угловая частота;
• φ - начальная фаза.

Угловая частота ω связана с периодом T следующим образом:

ω = 2π / T.

В нашем случае период T равен 1 с, поэтому:

ω = 2π / 1 = 2π рад/с.

Теперь давайте вспомним, что максимальная кинетическая энергия (КЭ) колеблющейся точки выражается формулой:

KЭ_max = (1/2) * m * ω² * A²,

где:

• m - масса тела;
• A - амплитуда;
• ω - угловая частота.

В нашем случае максимальная кинетическая энергия равна 0,02 Дж, масса m равна 10 г (что равно 0,01 кг), а ω мы уже нашли (2π рад/с).

Подставим известные значения в формулу:

0,02 = (1/2) * 0,01 * (2π)² * A².

Теперь упростим уравнение:

0,02 = (1/2) * 0,01 * 4π² * A².

Умножим обе стороны на 2:

0,04 = 0,01 * 4π² * A².

Разделим обе стороны на 0,01:

4 = 4π² * A².

Теперь разделим обе стороны на 4π²:

A² = 4 / (4π²).

Упростим:

A² = 1 / π².

Теперь найдем амплитуду A, взяв квадратный корень из обеих сторон:

A = 1 / π.

Таким образом, амплитуда колебаний составляет:

A ≈ 0,3183 м.

Итак, амплитуда колебаний материальной точки массой 10 г, создающей гармонические колебания с периодом 1 с и начальной фазой π/6, равна примерно 0,3183 метра.