Для решения этой задачи давайте проанализируем, что происходит с гвоздем после каждого удара молотком.

1. После первого удара гвоздь входит в доску на глубину l/k. Мы можем обозначить глубину, на которую гвоздь вошел после n ударов, как h_n.

2. После первого удара:

• h_1 = l/k

3. После второго удара гвоздь входит на глубину, которая также будет пропорциональна оставшейся части гвоздя, который еще не вошел в доску.

Сила взаимодействия пропорциональна глубине, то есть:

• h_2 = (l - h_1) / k = (l - l/k) / k = l(1 - 1/k) / k = l(1/k - 1/k^2)

4. Таким образом, после второго удара:

• h_2 = l/k^2

5. После третьего удара:

• h_3 = l/k^3

6. Мы можем заметить, что после n ударов глубина, на которую вошел гвоздь, будет:

• h_n = l/k^n

7. Чтобы найти, сколько ударов нужно, чтобы гвоздь полностью погрузился в доску, нам нужно, чтобы сумма глубин, на которые гвоздь вошел, была равна длине гвоздя l:

• h_1 + h_2 + h_3 + ... + h_n = l

8. Сумма геометрической прогрессии:

• S_n = a(1 - r^n) / (1 - r),где a - первый член, r - отношение, n - количество членов.

В нашем случае:

• a = l/k, r = 1/k, и S_n = l(1 - (1/k)^n) / (1 - 1/k).

9. Подставим наши значения:

• S_n = l(1 - (1/k)^n) / (1 - 1/k) = l(1 - (1/k)^n) / ((k - 1)/k) = l*k(1 - (1/k)^n) / (k - 1).

10. Чтобы гвоздь полностью вошел в доску, нужно, чтобы S_n = l:

• l*k(1 - (1/k)^n) / (k - 1) = l.

11. Упрощая уравнение, получаем:

• k(1 - (1/k)^n) = k - 1.

12. Разделим обе стороны на k:

• 1 - (1/k)^n = 1 - 1/k.

13. Переносим (1/k)^n:

• (1/k)^n = 1/k.

14. Отсюда следует, что:

• n = 1.

Таким образом, для полного погружения гвоздя в доску потребуется n = k ударов.

Ответ: Для полного погружения гвоздя в доску потребуется k ударов.