Для решения задачи о резонансе в контуре с катушкой индуктивности и конденсатором, необходимо сначала определить, при какой ёмкости будет достигнут резонанс. Резонанс в LC-контуре происходит, когда реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны по величине, то есть:

Резонансная частота ω₀ для LC-контуров определяется по формуле:

ω₀ = 1 / √(L * C)

где:

• ω₀ — резонансная угловая частота в радианах в секунду,
• L — индуктивность в Генри,
• C — ёмкость в Фарадах.

Мы можем также выразить ω₀ через частоту f (в Герцах):

ω₀ = 2 * π * f

При резонансе, мы можем приравнять эти два выражения:

2 * π * f = 1 / √(L * C)

Теперь, чтобы найти ёмкость C, мы можем выразить её из этого уравнения:

C = 1 / (L * (2 * π * f)²)

Теперь подставим известные значения в формулу. У нас есть:

• L = 100 мГн = 100 * 10^(-3) Гн = 0.1 Гн.

Для резонанса, частота f может быть выбрана, например, 50 Гц:

C = 1 / (0.1 * (2 * π * 50)²)

Теперь вычислим это:

1. Сначала вычислим 2 * π * 50:
2. 2 * π * 50 ≈ 314.16.
3. Теперь возведем это значение в квадрат:
4. (314.16)² ≈ 98696.44.
5. Теперь подставим в формулу для ёмкости:
6. C = 1 / (0.1 * 98696.44) ≈ 1.01 * 10^(-5) Ф.

Таким образом, ёмкость для резонанса при частоте 50 Гц составляет примерно 10.1 мкФ.

Теперь найдем напряжение на ёмкости при этих частотах. Напряжение на ёмкости можно вычислить по формуле:

U_C = I * X_C

где:

• I — ток в контуре,
• X_C — реактивное сопротивление конденсатора, которое определяется как:

X_C = 1 / (2 * π * f * C)

Ток можно найти, используя общее напряжение и общее сопротивление в цепи:

U = I * Z, где Z — полное сопротивление цепи.

Полное сопротивление Z определяется как:

Z = √(R² + (X_L - X_C)²),

где R — активное сопротивление, X_L — реактивное сопротивление катушки (X_L = 2 * π * f * L),

X_C — реактивное сопротивление конденсатора.

Для частоты 50 Гц:

• X_L = 2 * π * 50 * 0.1 ≈ 31.42 Ом.
• X_C = 1 / (2 * π * 50 * 1.01 * 10^(-5)) ≈ 314.16 Ом.
• Теперь находим полное сопротивление Z:
• Z = √(22² + (31.42 - 314.16)²) ≈ 292.68 Ом.

Теперь можем найти ток I:

I = U / Z = 220 / 292.68 ≈ 0.752 А.

Теперь находим напряжение на ёмкости:

U_C = I * X_C = 0.752 * 314.16 ≈ 235.5 В.

Для частоты 1000 Гц:

• X_L = 2 * π * 1000 * 0.1 ≈ 628.32 Ом.
• X_C = 1 / (2 * π * 1000 * 1.01 * 10^(-5)) ≈ 15.92 Ом.
• Z = √(22² + (628.32 - 15.92)²) ≈ 609.82 Ом.

Теперь находим ток I:

I = U / Z = 220 / 609.82 ≈ 0.361 А.

Теперь находим напряжение на ёмкости:

U_C = I * X_C = 0.361 * 15.92 ≈ 5.75 В.

Таким образом, резонансная ёмкость составляет около 10.1 мкФ, а напряжения на ёмкости составляют:

• При 50 Гц: примерно 235.5 В,
• При 1000 Гц: примерно 5.75 В.