В сфере радиусом 15 см сделано сечение, площадь которого составляет 81pi см². Каков объём меньшего шарового сегмента, который отсекается плоскостью сечения?

География 11 класс Геометрия тел вращения География 11 класс радиус сечение площадь шаровой сегмент объём плоскость геометрия математика физика формулы задачи школьная программа Новый

Для решения задачи о нахождении объёма меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения, нам нужно использовать несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Определение радиуса сферы

Дано, что радиус сферы R равен 15 см.

Шаг 2: Определение площади сечения

Площадь сечения S равна 81pi см². Площадь круга можно выразить формулой:

S = πr²,

где r - радиус круга сечения. Мы можем использовать эту формулу для нахождения радиуса сечения.

Шаг 3: Нахождение радиуса сечения

• Подставим известные значения в формулу:
• 81pi = πr².
• Делим обе стороны на π:
• 81 = r².
• Теперь извлечем квадратный корень:
• r = √81 = 9 см.

Шаг 4: Нахождение расстояния от центра сферы до плоскости сечения

Теперь, когда мы знаем радиус сечения (r = 9 см), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения расстояния h от центра сферы до плоскости сечения. Это расстояние можно найти по формуле:

h = R - √(R² - r²),

где R - радиус сферы, r - радиус сечения.

Шаг 5: Подсчёт расстояния h

• Подставим известные значения:
• h = 15 - √(15² - 9²).
• Сначала вычислим 15² и 9²:
• 15² = 225, 9² = 81.
• Теперь подставим в формулу:
• h = 15 - √(225 - 81) = 15 - √144 = 15 - 12 = 3 см.

Шаг 6: Нахождение объёма шарового сегмента

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения объёма шарового сегмента:

V = (1/3) * π * h² * (3R - h),

где V - объём сегмента, R - радиус сферы, h - расстояние от центра сферы до плоскости сечения.

Шаг 7: Подсчёт объёма V

• Подставим известные значения:
• V = (1/3) * π * (3)² * (3*15 - 3).
• Вычислим:
• V = (1/3) * π * 9 * (45 - 3) = (1/3) * π * 9 * 42.
• V = (1/3) * π * 378 = 126π см³.

Ответ: Объём меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения, составляет 126π см³.