Чтобы найти расстояние от вершины A правильного тетраэдра ABCD до плоскости BDC, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты вершин тетраэдра. Поскольку тетраэдр правильный, его вершины можно разместить в трехмерном пространстве следующим образом:
• A(0, 0, √6/√3)
• B(√6/√2, 0, 0)
• C(0, √6/√2, 0)
• D(0, 0, 0)
2. Найдем уравнение плоскости BDC. Для этого нам нужно определить векторы, лежащие в плоскости, и затем использовать их для нахождения нормали:
• Вектор BD = D - B = (0, 0, 0) - (√6/√2, 0, 0) = (-√6/√2, 0, 0)
• Вектор CD = D - C = (0, 0, 0) - (0, √6/√2, 0) = (0, -√6/√2, 0)
3. Вычислим векторное произведение векторов BD и CD, чтобы найти нормаль к плоскости. Нормаль N может быть найдена как:
• N = BD x CD = ((-√6/√2) * 0 - 0 * (-√6/√2), 0 * 0 - 0 * 0, (-√6/√2) * (-√6/√2) - 0 * 0) = (0, 0, 3).
4. Теперь у нас есть нормальный вектор N(0, 0, 3). Уравнение плоскости имеет вид:
• 0 * x + 0 * y + 3 * z = 0, что упрощается до z = 0.
5. Найдём расстояние от точки A до плоскости z = 0. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:
• Расстояние = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).
• Где A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, а D = 0. В нашем случае A = 0, B = 0, C = 3, D = 0.
• Подставляем координаты точки A(0, 0, √6/√3):
• Расстояние = |0 * 0 + 0 * 0 + 3 * (√6/√3) + 0| / sqrt(0 + 0 + 3^2) = |3 * (√6/√3)| / 3 = √6/√3.
6. Упростим полученное расстояние:
• Расстояние = √6 / √3 = √(6/3) = √2.

Таким образом, расстояние от вершины A до плоскости BDC равно √2.