Какое расстояние от центра основания конуса до его образующей, если оно равно 3 см, а угол при вершине осевого сечения составляет 120 градусов? Каков объем этого конуса?

Геометрия 1 класс Объем конуса и его свойства расстояние от центра основания конуса образующая конуса угол при вершине конуса объем конуса осевое сечение конуса Новый

Для решения этой задачи нам нужно сначала определить несколько параметров конуса, а затем использовать их для вычисления объема.

Шаг 1: Определение радиуса основания конуса

Мы знаем, что образующая конуса (l) равна 3 см, а угол при вершине осевого сечения (α) составляет 120 градусов. Угол при вершине осевого сечения равен 2 * β, где β - угол между образующей и радиусом основания.

• Следовательно, β = α / 2 = 120° / 2 = 60°.

Теперь можем использовать тригонометрию для нахождения радиуса основания (r). Мы знаем, что:

• cos(β) = r / l.

Подставляем значения:

• cos(60°) = r / 3.
• 1/2 = r / 3.

Теперь найдем r:

• r = 3 * (1/2) = 1.5 см.

Шаг 2: Определение высоты конуса

Теперь нам нужно найти высоту конуса (h). Мы можем использовать sin(β):

• sin(β) = h / l.

Подставляем значения:

• sin(60°) = h / 3.
• √3/2 = h / 3.

Теперь найдем h:

• h = 3 * (√3/2) = 3√3 / 2 см.

Шаг 3: Вычисление объема конуса

Формула для объема конуса (V) выглядит так:

• V = (1/3) * π * r² * h.

Подставляем найденные значения:

• V = (1/3) * π * (1.5)² * (3√3 / 2).
• V = (1/3) * π * 2.25 * (3√3 / 2).
• V = (1/3) * π * (3.375√3).

Таким образом, объем конуса равен:

• V = (3.375/3) * π√3 = 1.125π√3 см³.

Итак, мы нашли, что расстояние от центра основания конуса до его образующей равно 1.5 см, а объем конуса составляет 1.125π√3 см³.