Для решения данной задачи начнем с анализа расположения равносторонних треугольников и их общей части.

1. **Определение площади одного треугольника**: Площадь равностороннего треугольника со стороной a вычисляется по формуле:

• Площадь = (sqrt(3)/4) * a^2.

Подставляя a = 1 см, получаем:

• Площадь = (sqrt(3)/4) * 1^2 = sqrt(3)/4 см².

2. **Общее количество треугольников**: У нас есть 2024 равносторонних треугольника, и все они имеют общий центр. Это значит, что они расположены вокруг центра и могут перекрываться.

3. **Максимальная площадь общей части**: Если бы треугольники не перекрывались, то общая площадь всех треугольников была бы равна:

• Общая площадь = 2024 * (sqrt(3)/4) см².

Но это не учитывает перекрытие, поэтому реальная площадь общей части S будет меньше этой величины.

4. **Минимальная площадь общей части**: Рассмотрим, что происходит, когда треугольники сдвигаются. Если они расположены так, что их вершины касаются, то общая площадь будет минимальной. В этом случае, чтобы оценить, какую часть площади они могут занимать, рассмотрим, что максимальное перекрытие происходит, когда треугольники расположены так, что их общая часть образует новый равносторонний треугольник.

5. **Оценка площадей**: Теперь мы можем оценить S. Известно, что площадь одного равностороннего треугольника равна sqrt(3)/4 см². Рассмотрим следующее:

• Если треугольники расположены так, что их общая часть составляет 1/4 от площади одного треугольника, то S ≥ 1/4 см².
• Если треугольники расположены так, что их общая часть составляет 1/2 от площади одного треугольника, то S ≤ 1/2 см².

Таким образом, мы можем сделать вывод, что:

• 1/4 < S < 1/2.

Это и есть искомая двусторонняя оценка для площади S.