1) Найдем значение косинуса угла α, если известно, что tgα = 11/60.

Для начала вспомним, что тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу:

tgα = sinα / cosα

Значит, если tgα = 11/60, то можно записать:

sinα = 11k и cosα = 60k, где k - некоторый положительный множитель.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:

sin²α + cos²α = 1.

Подставим наши выражения:

(11k)² + (60k)² = 1.

Это упростится до:

121k² + 3600k² = 1.

Сложим подобные слагаемые:

3721k² = 1.

Теперь найдем k²:

k² = 1/3721.

Следовательно, k = 1/61 (так как k должен быть положительным).

Теперь подставим значение k обратно, чтобы найти cosα:

cosα = 60k = 60 * (1/61) = 60/61.

Ответ: cosα = 60/61.

2) Как можно вычислить синус острого угла, если известен косинус этого же угла?

Если нам дан косинус угла α, например, cosα = 40/41, то мы можем использовать то же основное тригонометрическое соотношение:

sin²α + cos²α = 1.

Подставим значение косинуса:

sin²α + (40/41)² = 1.

Сначала вычислим (40/41)²:

(40/41)² = 1600/1681.

Теперь подставим это значение в уравнение:

sin²α + 1600/1681 = 1.

Теперь вычтем 1600/1681 из обеих сторон:

sin²α = 1 - 1600/1681.

Чтобы вычесть, представим 1 как дробь с тем же знаменателем:

1 = 1681/1681.

Теперь вычтем:

sin²α = 1681/1681 - 1600/1681 = 81/1681.

Теперь найдем sinα, взяв квадратный корень:

sinα = √(81/1681) = 9/41.

Ответ: sinα = 9/41.