1. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен √8 см, а два угла треугольника равны по 45°. Как найти стороны треугольника АВС?

2. В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 120°, точка О – это точка пересечения биссектрис. Окружность радиусом 2√3 см вписана в этот треугольник и касается прямых BC и AC в точках D и E соответственно. Как найти длину отрезка BO и угол BED?

3. Трапеция ABCD вписана в окружность, угол A равен 60°, угол ABD равен 90°, а длина отрезка CD равна 4 см. Каковы свойства этой трапеции?

Геометрия 10 класс Треугольники и окружности радиус окружности треугольник ABC стороны треугольника равнобедренный треугольник угол B биссектрисы длина отрезка BO угол BED трапеция ABCD вписанная окружность свойства трапеции Новый

1. Найдем стороны треугольника ABC, зная радиус описанной окружности и два угла.

Дано: радиус окружности R = √8 см, угол A = 45°, угол B = 45°. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол C можно найти следующим образом:

• Угол C = 180° - (угол A + угол B) = 180° - (45° + 45°) = 90°.

Теперь мы имеем треугольник ABC с углом C = 90°, что делает его прямоугольным. В прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c, формула для радиуса описанной окружности выглядит следующим образом:

R = c / 2, где c – гипотенуза.

Так как R = √8, мы можем выразить гипотенузу:

• c = 2R = 2 * √8 = 4√2 см.

Теперь, зная, что угол A = 45° и угол B = 45°, стороны a и b равны, так как треугольник является равнобедренным:

Согласно свойству прямоугольного треугольника, мы знаем, что:

• a = b = c / √2 = (4√2) / √2 = 4 см.

Ответ: Стороны треугольника ABC равны 4 см, 4 см и 4√2 см.

2. Найдем длину отрезка BO и угол BED в равнобедренном треугольнике ABC.

Дано: угол B = 120°, радиус вписанной окружности r = 2√3 см.

Так как ABC - равнобедренный треугольник, стороны AB и AC равны. Угол A можно найти следующим образом:

• Угол A = 180° - угол B = 180° - 120° = 60°.
• Угол C = угол A = 60° (так как ABC равнобедренный).

Теперь, чтобы найти длину отрезка BO, воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности:

• r = (a * b * c) / (4S), где S - площадь треугольника.

Площадь S можно найти через угол B:

• S = (1/2) * AB * AC * sin(B).

Обозначим AB = AC = a. Тогда:

• S = (1/2) * a * a * sin(120°) = (a^2 * √3) / 4.

Теперь подставим в формулу для r:

• 2√3 = (a^3) / (4 * (a^2 * √3) / 4) = a / √3.

Отсюда:

• a = 6 см.

Теперь, чтобы найти BO, используем свойства биссектрисы. Длина отрезка BO равна:

• BO = (r * (a + b - c)) / (a + b) = (2√3 * (a + a - a)) / (a + a) = (2√3 * a) / (2a) = √3 см.

Теперь найдем угол BED. Угол BED равен половине угла B, поэтому:

• Угол BED = 120° / 2 = 60°.

Ответ: Длина отрезка BO равна √3 см, угол BED равен 60°.

3. Рассмотрим свойства трапеции ABCD, вписанной в окружность.

Дано: угол A = 60°, угол ABD = 90°, длина отрезка CD = 4 см.

Так как трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Углы A и D являются смежными углами, а углы B и C также смежные. Поскольку угол ABD = 90°, то угол B = 90°.

Таким образом, угол D = 180° - угол A = 180° - 60° = 120°.

Теперь рассмотрим стороны AB и AD. Поскольку трапеция равнобедренная, то:

• AB = AD.

Теперь, используя теорему о вписанных углах, можно сказать, что:

• Угол C = угол A = 60°.
• Угол D = угол B = 120°.

Сумма углов в трапеции также равна 360°, что подтверждает, что ABCD - это равнобедренная трапеция.

Ответ: Трапеция ABCD является равнобедренной, углы A и D равны 60° и 120° соответственно, а длина отрезка CD равна 4 см.