Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, где CD = 15 см, а AC = 20 см. Как можно вычислить периметр треугольника AOB?

Геометрия 10 класс Свойства прямоугольника и треугольников геометрия 10 класс прямоугольник диагонали пересечение точка O CD 15 см AC 20 см периметр треугольник AOB вычисление формулы свойства треугольников свойства прямоугольника Новый

Чтобы найти периметр треугольника AOB, нам сначала нужно понять, как связаны стороны прямоугольника и его диагонали. В прямоугольнике диагонали равны, и они пересекаются в точке O, делясь пополам. Это значит, что AO = CO и BO = DO.

Давайте разберем шаги, необходимые для решения задачи:

1. Понять, что дано: У нас есть прямоугольник ABCD, где CD = 15 см и диагональ AC = 20 см.
2. Использовать свойства прямоугольника: В прямоугольнике диагонали равны, значит, AC = BD. Также, поскольку диагонали делятся точкой пересечения пополам, AO = OC и BO = OD.
3. Использовать теорему Пифагора: Поскольку AC является диагональю, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ACD, чтобы найти другие стороны прямоугольника. Пусть AD = a и CD = b. Тогда:
• AC = √(AD² + CD²) = √(a² + 15²) = 20.
4. Решить уравнение: Подставим известные значения в уравнение:
• √(a² + 15²) = 20
• a² + 225 = 400
• a² = 175
• a = √175 = √(25 * 7) = 5√7
5. Найти длины отрезков AO и BO: Поскольку AC = 20 см, и AO = OC = 10 см (половина диагонали). Теперь нам нужно найти BO. Для этого используем теорему Пифагора для треугольника AOB:
• AB = √(AD² + CD²) = √((5√7)² + 15²) = √(175 + 225) = √400 = 20
6. Найти BO: Теперь, зная, что AB = 20 см, и AO = 10 см, мы можем найти BO:
• BO = √(AB² - AO²) = √(20² - 10²) = √(400 - 100) = √300 = 10√3
7. Вычислить периметр треугольника AOB: Периметр треугольника AOB равен сумме длин его сторон AO, BO и AB:
• P = AO + BO + AB = 10 + 10√3 + 20 = 30 + 10√3 см

Таким образом, периметр треугольника AOB равен 30 + 10√3 см.