Для решения этой задачи воспользуемся свойствами трапеции и соотношениями площадей треугольников, образованных диагоналями.

Итак, у нас есть трапеция ABCD, где AD || BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Нам известно, что площади треугольников BOC и AOD относятся как 1:16. Это означает, что:

• Площадь треугольника BOC = S
• Площадь треугольника AOD = 16S

Суммарная площадь трапеции ABCD будет равна сумме площадей этих треугольников:

Площадь ABCD = S + 16S = 17S.

Теперь, поскольку AD и BC являются основаниями трапеции, мы можем использовать соотношение площадей треугольников и оснований трапеции. Площадь треугольников, образованных диагоналями, пропорциональна длинам оснований:

• Площадь треугольника BOC пропорциональна основанию BC.
• Площадь треугольника AOD пропорциональна основанию AD.

Таким образом, можно записать соотношение:

(Площадь BOC) / (Площадь AOD) = (BC) / (AD).

Подставим известные значения:

S / 16S = BC / AD.

Это упрощается до:

1 / 16 = BC / AD.

Отсюда мы можем выразить BC через AD:

BC = (1/16) * AD.

Теперь введем обозначения для оснований:

• AD = x (большее основание)
• BC = y (меньшее основание)

Согласно условию задачи, сумма оснований равна 15 см:

x + y = 15.

Подставим y = (1/16)x в это уравнение:

x + (1/16)x = 15.

Объединим подобные слагаемые:

(16/16)x + (1/16)x = 15.

(17/16)x = 15.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 16/17:

x = 15 * (16/17) = 240/17.

Теперь найдем y:

y = 15 - x = 15 - (240/17) = (255 - 240)/17 = 15/17.

Теперь мы знаем, что:

• AD = 240/17 см (большее основание)
• BC = 15/17 см (меньшее основание)

Таким образом, длина меньшего основания BC составляет:

15/17 см.