Гипотенуза прямоугольного треугольника составляет 34 см. Если увеличить больший из катетов на 33 см, то гипотенуза станет больше на 31 см. Как найти катеты этого треугольника?

Геометрия 10 класс Проблемы с прямоугольными треугольниками гипотенуза прямоугольный треугольник катеты задача по геометрии 10 класс увеличение катетов решение треугольника математическая задача геометрические соотношения школьная геометрия Новый

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим катеты треугольника как a и b, где b — больший катет. Тогда по условию задачи у нас есть следующие данные:

• Гипотенуза (c) = 34 см.
• Если увеличить больший катет (b) на 33 см, то новая гипотенуза станет равной 34 см + 31 см = 65 см.

Теперь мы можем записать два уравнения, используя теорему Пифагора:

1. Первое уравнение: a² + b² = 34² = 1156.
2. Второе уравнение: a² + (b + 33)² = 65² = 4225.

Теперь давайте разберемся со вторым уравнением:

Раскроем скобки во втором уравнении:

a² + (b² + 66b + 1089) = 4225.

Теперь подставим первое уравнение (a² + b² = 1156) в это уравнение:

1156 + 66b + 1089 = 4225.

Теперь упростим это уравнение:

66b + 2245 = 4225.

Вычтем 2245 из обеих сторон:

66b = 4225 - 2245 = 1980.

Теперь найдем b:

b = 1980 / 66 = 30 см.

Теперь, когда мы знаем b, можем найти a, подставив b в первое уравнение:

a² + 30² = 1156.

a² + 900 = 1156.

a² = 1156 - 900 = 256.

a = √256 = 16 см.

Таким образом, катеты нашего треугольника:

• a = 16 см (меньший катет),
• b = 30 см (больший катет).

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 30 см.