Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим катеты треугольника как a и b, где b — больший катет. Тогда по условию задачи у нас есть следующие данные:

• Гипотенуза (c) = 34 см.
• Если увеличить больший катет (b) на 33 см, то новая гипотенуза станет равной 34 см + 31 см = 65 см.

Теперь мы можем записать два уравнения, используя теорему Пифагора:

1. Первое уравнение: a² + b² = 34² = 1156.
2. Второе уравнение: a² + (b + 33)² = 65² = 4225.

Теперь давайте разберемся со вторым уравнением:

Раскроем скобки во втором уравнении:

a² + (b² + 66b + 1089) = 4225.

Теперь подставим первое уравнение (a² + b² = 1156) в это уравнение:

1156 + 66b + 1089 = 4225.

Теперь упростим это уравнение:

66b + 2245 = 4225.

Вычтем 2245 из обеих сторон:

66b = 4225 - 2245 = 1980.

Теперь найдем b:

b = 1980 / 66 = 30 см.

Теперь, когда мы знаем b, можем найти a, подставив b в первое уравнение:

a² + 30² = 1156.

a² + 900 = 1156.

a² = 1156 - 900 = 256.

a = √256 = 16 см.

Таким образом, катеты нашего треугольника:

• a = 16 см (меньший катет),
• b = 30 см (больший катет).

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 30 см.