Из вершины квадрата АВСД восстановлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Какое расстояние от точки Е до прямой ВД, если длина перпендикуляра АЕ равна 2 дм, а сторона квадрата АВ равна 8 дм?

Геометрия 10 класс Перпендикуляр и расстояние от точки до прямой геометрия 10 класс квадрат перпендикуляр расстояние точка прямая длина сторона задача решение АЕ ВД АВСД школьная математика Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы найти расстояние от точки Е до прямой ВД.

Шаг 1: Определим координаты точек квадрата ABCD.

• Пусть точка A находится в начале координат: A(0, 0, 0).
• Тогда точка B будет A(8, 0, 0), так как сторона квадрата равна 8 дм.
• Точка C будет C(8, 8, 0), а точка D будет D(0, 8, 0).

Шаг 2: Определим координаты точки E.

Так как перпендикуляр AE имеет длину 2 дм и восстанавливается из точки A, то координаты точки E будут E(0, 0, 2).

Шаг 3: Найдем уравнение прямой BД.

Прямая BD проходит через точки B(8, 0, 0) и D(0, 8, 0). Чтобы найти уравнение этой прямой, можно выразить её в параметрической форме:

• x = 8 - 8t,
• y = 8t,
• z = 0,

где t изменяется от 0 до 1.

Шаг 4: Найдем расстояние от точки E до прямой BD.

Чтобы найти расстояние от точки E до прямой, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до прямой в пространстве. Расстояние d от точки E(x0, y0, z0) до прямой, заданной двумя точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), можно рассчитывать по следующей формуле:

d = |(B - A) × (A - E)| / |B - A|,

где "×" обозначает векторное произведение, а "|" - модуль вектора.

В нашем случае:

• Точка A: B(8, 0, 0),
• Точка B: D(0, 8, 0),
• Точка E: E(0, 0, 2).

Шаг 5: Вычислим векторы.

• Вектор AB = B - A = (0 - 8, 8 - 0, 0 - 0) = (-8, 8, 0),
• Вектор AE = E - A = (0 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (0, 0, 2).

Шаг 6: Найдем векторное произведение.

Векторное произведение AB × AE:

• AB × AE = |i j k|
• |-8 8 0|
• |0 0 2|

Рассчитываем:

• i(8*2 - 0*0) - j(-8*2 - 0*0) + k(0 - 0) = (16, 16, 0).

Шаг 7: Найдем модуль этого вектора.

Модуль |(AB × AE)| = корень(16^2 + 16^2 + 0^2) = корень(256 + 256) = корень(512) = 16 * корень(2).

Шаг 8: Найдем модуль вектора AB.

|AB| = корень((-8)^2 + 8^2 + 0^2) = корень(64 + 64) = корень(128) = 8 * корень(2).

Шаг 9: Подставим значения в формулу для расстояния.

d = |(AB × AE)| / |AB| = (16 * корень(2)) / (8 * корень(2)) = 2.

Ответ: Расстояние от точки E до прямой BД равно 2 дм.