Чтобы доказать, что точки P, M, N и K лежат на одной плоскости, мы можем воспользоваться свойствами тетрайдера и заданными условиями. Рассмотрим шаги решения:

1. Определим точки и их расположение:
   • Тетрайдер DABC имеет вершины D, A, B и C.
   • Точка M лежит на отрезке AB, и MA = MB, значит, M - середина отрезка AB.
   • Точка N лежит на отрезке BC, и NB = NC, значит, N - середина отрезка BC.
   • Точка P лежит на отрезке CD.
   • Точка K лежит на отрезке AD, и AK = KD, значит, K - середина отрезка AD.
2. Используем свойства средних точек:
   • Поскольку M и N - середины отрезков, то они делят отрезки на равные части, что позволяет нам утверждать, что M и N находятся на одной плоскости, проходящей через точки A, B и C.
   • Точка K, будучи серединой отрезка AD, также будет находиться на плоскости, содержащей точки A и D.
3. Проверим взаимное расположение точек:
   • Плоскость ABC содержит точки M и N.
   • Плоскость ABD содержит точки A, B, D и K.
   • Плоскость ACD содержит точки A, C, D и P.
4. Используем теорему о пересечении плоскостей:
   • Плоскости ABC и ABD пересекаются по прямой AB.
   • Плоскости ABC и ACD пересекаются по прямой AC.
   • Точка K лежит на плоскости ABD, а точка P лежит на плоскости ACD.
5. Заключение:
   • Поскольку точки M и N находятся на плоскости ABC, а точки P и K находятся на плоскостях, которые пересекаются с плоскостью ABC, можно утверждать, что все четыре точки P, M, N и K лежат на одной плоскости.

Таким образом, мы доказали, что точки P, M, N и K лежат на одной плоскости, используя свойства тетрайдера и условия задачи.