Как можно найти меньший катет прямоугольного треугольника, если площадь равна 24 см², а длина гипотенузы составляет 10 см?

Геометрия 10 класс Площадь и свойства прямоугольного треугольника найти меньший катет прямоугольный треугольник площадь 24 см² длина гипотенузы 10 см геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти меньший катет прямоугольного треугольника, зная его площадь и длину гипотенузы, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Запишем формулы для площади и гипотенузы:
• Площадь прямоугольного треугольника: S = (a * b) / 2, где a и b - катеты.
• Длина гипотенузы: c = √(a² + b²), где c - гипотенуза.
2. Подставим известные значения:
• Площадь S = 24 см².
• Гипотенуза c = 10 см.
3. Выразим один катет через другой:
• Пусть a - меньший катет, а b - больший катет. Тогда по формуле площади: 24 = (a * b) / 2, что можно переписать как a * b = 48.
• Также по формуле гипотенузы: 10 = √(a² + b²), возведем обе стороны в квадрат: 100 = a² + b².
4. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
• 1) a * b = 48
• 2) a² + b² = 100
5. Выразим b через a из первого уравнения:
• b = 48 / a
6. Подставим это выражение во второе уравнение:
• a² + (48/a)² = 100
• Упростим это уравнение: a² + 2304/a² = 100.
• Умножим всё на a², чтобы избавиться от дроби: a^4 - 100a² + 2304 = 0.
7. Теперь решим это квадратное уравнение:
• Пусть x = a², тогда уравнение примет вид: x² - 100x + 2304 = 0.
• Решим его с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac = (-100)² - 4*1*2304 = 10000 - 9216 = 784.
• Теперь находим корни: x = (100 ± √784) / 2.
• Корни: x₁ = 92, x₂ = 8.
8. Теперь найдем a и b:
• Если x₁ = 92, то a² = 92, а = √92 ≈ 9.59 см.
• Если x₂ = 8, то a² = 8, а = √8 ≈ 2.83 см.
9. Таким образом, меньший катет:
• a ≈ 2.83 см.

Ответ: меньший катет прямоугольного треугольника составляет примерно 2.83 см.