Как можно найти площадь прямоугольного треугольника, если биссектрисой гипотенуза делится на два отрезка длиной 20 см и 15 см?

Геометрия 10 класс Площадь треугольника и его свойства площадь прямоугольного треугольника биссектрисы гипотенуза отрезки геометрия задачи по геометрии формулы площади треугольник длина отрезков решение задач Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, в котором биссектрисой гипотенуза делится на два отрезка длиной 20 см и 15 см, мы можем воспользоваться следующим подходом.

Сначала отметим, что гипотенуза прямоугольного треугольника делится на два отрезка, которые относятся как длины катетов. Обозначим катеты треугольника как a и b. Тогда, согласно свойству биссектрисы, мы имеем:

• 20 см относится к катету a,
• 15 см относится к катету b.

Сначала найдем отношение катетов:

a/b = 20/15 = 4/3.

Теперь выразим один катет через другой. Пусть b = 3k, тогда a = 4k, где k - некоторый коэффициент. Теперь найдем длину гипотенузы c:

c = a + b = 4k + 3k = 7k.

Теперь можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая для прямоугольного треугольника гласит:

c^2 = a^2 + b^2.

Подставим наши выражения:

(7k)^2 = (4k)^2 + (3k)^2.

Теперь вычислим:

• (7k)^2 = 49k^2,
• (4k)^2 = 16k^2,
• (3k)^2 = 9k^2.

Таким образом, у нас получается:

49k^2 = 16k^2 + 9k^2.

Сложим правую часть:

49k^2 = 25k^2.

Это равенство верно, если k не равен нулю. Теперь мы можем найти площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

Площадь = (1/2) * a * b.

Подставим выражения для a и b:

Площадь = (1/2) * (4k) * (3k) = (1/2) * 12k^2 = 6k^2.

Теперь нам нужно найти k. Мы знаем, что длина гипотенузы c = 20 см + 15 см = 35 см. Подставим это значение в уравнение для гипотенузы:

7k = 35 см.

Отсюда находим:

k = 5 см.

Теперь подставим значение k в формулу для площади:

Площадь = 6k^2 = 6 * (5 см)^2 = 6 * 25 см^2 = 150 см^2.

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника составляет 150 см².