Как можно определить угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда с размерами 3 см, 4 см и 5 см и плоскостью его основания?

Геометрия 10 класс Углы и расстояния в пространстве угол между диагональю диагональ прямоугольного параллелепипеда плоскость основания размеры 3 см 4 см 5 см геометрия углы Новый

Чтобы определить угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью его основания, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

Шаг 1: Найдем длину диагонали параллелепипеда.

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда может быть найдена с использованием формулы:

D = √(a² + b² + c²),

где a, b и c - размеры параллелепипеда. В нашем случае:

• a = 3 см,
• b = 4 см,
• c = 5 см.

Подставляем значения:

D = √(3² + 4² + 5²) = √(9 + 16 + 25) = √50.

Таким образом, длина диагонали D равна √50 см.

Шаг 2: Найдем координаты диагонали и основания.

Мы можем представить параллелепипед в трехмерной системе координат. Пусть одна из вершин параллелепипеда находится в начале координат (0, 0, 0), а противоположная вершина будет в точке (3, 4, 5). Тогда координаты концов диагонали будут:

• Начало: (0, 0, 0),
• Конец: (3, 4, 5).

Шаг 3: Найдем вектор диагонали.

Вектор диагонали можно записать как:

V = (3 - 0, 4 - 0, 5 - 0) = (3, 4, 5).

Шаг 4: Найдем нормальный вектор плоскости основания.

Плоскость основания параллелепипеда (например, основание со сторонами 3 см и 4 см) можно считать плоскостью XY. Нормальный вектор этой плоскости будет равен (0, 0, 1), так как он направлен вдоль оси Z.

Шаг 5: Найдем угол между векторами.

Для нахождения угла между двумя векторами V1 и V2 можно использовать формулу:

cos(θ) = (V1 * V2) / (|V1| * |V2|),

где * - скалярное произведение векторов, а |V| - длина вектора.

Шаг 6: Вычислим скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение V и нормального вектора:

V1 * V2 = (3 * 0) + (4 * 0) + (5 * 1) = 5.

Шаг 7: Найдем длины векторов.

Длина вектора V:

|V| = √(3² + 4² + 5²) = √50.

Длина нормального вектора (0, 0, 1):

|N| = √(0² + 0² + 1²) = 1.

Шаг 8: Подставляем значения в формулу.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 5 / (√50 * 1) = 5 / √50.

Шаг 9: Находим угол θ.

Чтобы найти угол, применим арккосинус:

θ = arccos(5 / √50).

Это значение можно вычислить с помощью калькулятора.

Таким образом, мы определили угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, следуя пошаговому процессу.