Как найти диаметр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 30°, а боковая сторона составляет 10 см?

Геометрия 10 класс Окружность, описанная вокруг треугольника диаметр окружности равнобедренный треугольник угол при основании боковая сторона геометрия задачи по геометрии формулы геометрии Новый

Чтобы найти диаметр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами треугольников и формулами для окружности.

Давайте рассмотрим наш треугольник. Обозначим его как ABC, где AB = AC (боковые стороны), а угол при основании ∠ABC = ∠ACB = 30°. Боковая сторона составляет 10 см, то есть AB = AC = 10 см.

Шаги решения:

1. Определим длину основания:
   • Сначала найдем длину основания BC. Для этого воспользуемся свойством равнобедренного треугольника и проведем высоту AD из вершины A на основание BC.
   • Угол ∠BAD будет равен 30°, а угол ∠ABD будет равен 60° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).
   • Теперь в треугольнике ABD мы можем использовать синус для нахождения высоты AD:
     • AD = AB * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 см.
   • Теперь найдем половину основания BD:
     • BD = AB * cos(30°) = 10 * (sqrt(3)/2) = 5 * sqrt(3) см.
   • Таким образом, длина основания BC будет равна:
     • BC = 2 * BD = 2 * (5 * sqrt(3)) = 10 * sqrt(3) см.
2. Находим радиус описанной окружности:
   • Формула для радиуса R описанной окружности треугольника:
     • R = (abc) / (4S), где a, b, c - стороны треугольника, а S - площадь треугольника.
   • Стороны треугольника: a = 10 см, b = 10 см, c = 10 * sqrt(3) см.
   • Теперь найдем площадь S треугольника:
     • S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * (10 * sqrt(3)) * 5 = 25 * sqrt(3) см².
   • Теперь подставим значения в формулу для радиуса R:
     • R = (10 * 10 * (10 * sqrt(3))) / (4 * (25 * sqrt(3))) = (1000 * sqrt(3)) / (100 * sqrt(3)) = 10 см.
3. Находим диаметр:
   • Диаметр D описанной окружности равен 2R. Следовательно:
     • D = 2 * 10 = 20 см.

Таким образом, диаметр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, равен 20 см.