Как найти точку на прямой 3x-y+4=0, которая будет равноудалена от точек A(3; 3) и B(7; 5)? Ответ должен быть: (x=2, y=10).

Геометрия 10 класс Прямые и расстояние между точками точка на прямой равноудаленная точка геометрия уравнение прямой координаты точки расстояние между точками A(3;3) B(7;5) нахождение точки решение задачи Новый

Чтобы найти точку на прямой 3x - y + 4 = 0, которая будет равноудалена от точек A(3, 3) и B(7, 5), следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем уравнение для равноудаленности.

Пусть точка P(x, y) - искомая точка. Мы хотим, чтобы расстояние от P до A равно расстоянию от P до B. Это можно записать в виде уравнения:

• Расстояние PA: √((x - 3)² + (y - 3)²)
• Расстояние PB: √((x - 7)² + (y - 5)²)

Приравняем эти два расстояния:

√((x - 3)² + (y - 3)²) = √((x - 7)² + (y - 5)²)

Шаг 2: Упростим уравнение.

Для упрощения мы можем избавиться от квадратных корней, возведя обе стороны в квадрат:

(x - 3)² + (y - 3)² = (x - 7)² + (y - 5)²

Раскроем скобки:

• (x² - 6x + 9 + y² - 6y + 9) = (x² - 14x + 49 + y² - 10y + 25)

Упростим уравнение:

-6x - 6y + 18 = -14x - 10y + 74

Переносим все члены в одну сторону:

8x + 4y - 56 = 0

Упростим его:

2x + y - 14 = 0

Шаг 3: Найдем точку пересечения с прямой 3x - y + 4 = 0.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 3x - y + 4 = 0
• 2x + y - 14 = 0

Сложим эти два уравнения. Сначала выразим y из второго уравнения:

y = 14 - 2x

Подставим это значение в первое уравнение:

3x - (14 - 2x) + 4 = 0

Упрощаем:

3x - 14 + 2x + 4 = 0

5x - 10 = 0

5x = 10

x = 2

Шаг 4: Найдем y.

Теперь подставим значение x = 2 в одно из уравнений, чтобы найти y. Подставим в y = 14 - 2x:

y = 14 - 2*2 = 14 - 4 = 10

Итак, искомая точка P имеет координаты:

(x, y) = (2, 10).

Таким образом, точка на прямой 3x - y + 4 = 0, которая равноудалена от точек A(3, 3) и B(7, 5), это (2, 10).