Как решить неравенство 9x² - 3xy + y²≥ 3xy?

Геометрия 10 класс Неравенства с двумя переменными неравенство геометрия 9x² 3xy y2 решение неравенств алгебраические выражения математические задачи Новый

Для решения неравенства 9x² - 3xy + y² ≥ 3xy необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс пошагово.

1. Перепишем неравенство: Сначала упростим неравенство, перенесем все термины на одну сторону:

9x² - 3xy + y² - 3xy ≥ 0

2. Соберем подобные члены: Объединим похожие термины:

9x² - 6xy + y² ≥ 0

3. Преобразуем квадратное выражение: Теперь мы можем рассматривать это неравенство как квадратное по x. Запишем его в стандартной форме:

9x² - 6xy + y² = 0

4. Определим дискриминант: Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 дискриминант D вычисляется по формуле D = b² - 4ac. В нашем случае a = 9, b = -6y, c = y².

D = (-6y)² - 4 * 9 * y² = 36y² - 36y² = 0

5. Анализируем дискриминант: Так как дискриминант равен нулю, это означает, что уравнение имеет одно решение, которое можно найти по формуле x = -b/(2a):

x = 6y/(2 * 9) = y/3

6. Определяем знак выражения: Теперь мы знаем, что 9x² - 6xy + y² ≥ 0 будет равно нулю при x = y/3. Чтобы определить, когда это выражение больше или равно нулю, рассмотрим знак при разных значениях x:
• Когда x < y/3, подставим значение, например x = 0: 9(0)² - 6(0)y + y² = y² ≥ 0 (всегда верно).
• Когда x = y/3, 9(y/3)² - 6(y/3)y + y² = 0 (равно нулю).
• Когда x > y/3, подставим значение, например x = y: 9y² - 6y² + y² = 4y² ≥ 0 (всегда верно).
7. Записываем итог: Таким образом, неравенство 9x² - 6xy + y² ≥ 0 выполняется для всех x, кроме точки x = y/3, где оно равно нулю. Это означает, что решение неравенства:

x ≤ y/3 или x ≥ y/3.

Таким образом, неравенство 9x² - 3xy + y² ≥ 3xy выполняется для всех значений x, кроме x = y/3, где оно равно нулю.