Какое расстояние между центрами двух окружностей, если их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны, а хорды, соединяющие точки касания, равны 5 см и 21 см?

Геометрия 10 класс Окружности и касательные к ним расстояние между центрами окружностей общие внутренние касательные хорды касания окружностей геометрия окружностей задачи по геометрии перпендикулярные касательные свойства окружностей решение задачи по геометрии Новый

Для решения данной задачи будем использовать свойства окружностей и их касательных. Рассмотрим две окружности с центрами O1 и O2, радиусами R1 и R2 соответственно. Из условия задачи известно, что их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны, а длины хорды, соединяющей точки касания, равны 5 см и 21 см.

Шаг 1: Определение длины хорды и радиусов окружностей.

Длину хорды, соединяющей точки касания, можно обозначить как L1 = 5 см и L2 = 21 см. Эти хорды соответствуют внутренним касательным к окружностям.

Шаг 2: Использование теоремы о касательных.

Согласно теореме, если две окружности касаются друг друга, то длина касательной (h) из точки, находящейся на одной окружности, к другой окружности можно найти по формуле:

• h = sqrt(R1^2 - (L1/2)^2)
• h = sqrt(R2^2 - (L2/2)^2)

Так как касательные перпендикулярны, то расстояние между центрами окружностей O1 и O2 можно найти по формуле:

Шаг 3: Формула для расстояния между центрами окружностей.

Расстояние d между центрами окружностей можно выразить следующим образом:

d = sqrt(h1^2 + h2^2),

где h1 и h2 — длины касательных.

Шаг 4: Подстановка значений и вычисление.

Подставим значения L1 и L2:

• h1 = sqrt(R1^2 - (5/2)^2)
• h2 = sqrt(R2^2 - (21/2)^2)

Из условия, что касательные перпендикулярны, мы можем утверждать, что:

• h1 = sqrt(R1^2 - 6.25)
• h2 = sqrt(R2^2 - 110.25)

Теперь подставим эти значения в формулу для расстояния между центрами:

d = sqrt((R1^2 - 6.25) + (R2^2 - 110.25)).

Для получения конкретного значения d, необходимо знать радиусы R1 и R2. Однако, если рассмотреть соотношение радиусов и длины касательных, можно сделать вывод, что:

Шаг 5: Итоговое расстояние.

В данном случае, для нахождения расстояния между центрами окружностей можно использовать известные значения:

d = sqrt(5^2 + 21^2) = sqrt(25 + 441) = sqrt(466) ≈ 21.6 см.

Таким образом, расстояние между центрами двух окружностей составляет примерно 21.6 см.