Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольная трапеция MNKP с основаниями NK и MP. Из условия известно, что:

• Площадь трапеции равна 54 см².
• Высота KH равна длине основания NK.
• Угол ∠HKP равен 45°.

Обозначим:

• NK = a (меньшее основание),
• MP = b (большее основание),
• KH = h (высота), которая равна a.

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

Площадь = (a + b) * h / 2.

Подставим известные значения:

54 = (a + b) * a / 2.

Умножим обе стороны уравнения на 2:

108 = (a + b) * a.

Теперь выразим b:

b = 108/a - a.

Также у нас есть угол ∠HKP, который равен 45°. Это означает, что треугольник HKP является равнобедренным, и высота KH равна длине основания NK. В таком случае, мы можем использовать свойства 45-градусного угла.

В равнобедренном треугольнике с углом 45° мы знаем, что:

KP = KH * sqrt(2) = a * sqrt(2).

Теперь, используя прямоугольный треугольник HKP, мы можем выразить основание MP:

MP = NK + KP = a + a * sqrt(2).

Теперь подставим это значение в уравнение для b:

a + a * sqrt(2) = 108/a - a.

Умножим все уравнения на a, чтобы избавиться от дробей:

a^2 + a^2 * sqrt(2) = 108 - a^2.

Соберем все члены с a в одну сторону:

2a^2 + a^2 * sqrt(2) = 108.

Теперь у нас есть уравнение, в котором можно выразить a и, следовательно, b.

Решив это уравнение, мы можем найти значение a, а затем подставить его в выражение для b:

108 = a^2 (2 + sqrt(2)).

Таким образом, мы можем найти a:

a^2 = 108 / (2 + sqrt(2)).

После нахождения a, мы можем подставить его в уравнение для b:

b = a + a * sqrt(2).

Теперь, подставив значение a, мы получим длину большего основания MP. Таким образом, ответ на вопрос о длине большего основания прямоугольной трапеции MNKP можно будет получить, вычислив значение b.