Чтобы найти градусную меру угла ВАС в треугольнике ABC, мы можем воспользоваться теорией косинусов. Давайте сначала запишем известные данные:

• Длина стороны AB = 8 см
• Длина стороны AC = 8√2 см
• Угол ABC = 45 градусов

Обозначим угол ВАС как α. Для нахождения этого угла мы можем использовать закон косинусов, который звучит так:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

где:

• c - сторона, противолежащая углу C (в нашем случае, это сторона BC);
• a и b - две другие стороны треугольника (в нашем случае, это стороны AB и AC);
• C - угол между сторонами a и b (в нашем случае, это угол ABC).

Сначала найдем длину стороны BC. Для этого применим закон косинусов:

1. Обозначим AB = c, AC = b, BC = a. Тогда:
2. c = 8 см, b = 8√2 см, C = 45°.
3. По формуле получаем:
4. BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(ABC).
5. Подставляем значения:
6. BC² = 8² + (8√2)² - 2 * 8 * (8√2) * cos(45°).
7. BC² = 64 + 128 - 2 * 8 * 8√2 * (√2/2).
8. BC² = 64 + 128 - 2 * 8 * 8 * 1 = 64 + 128 - 128 = 64.
9. BC = √64 = 8 см.

Теперь у нас есть все стороны треугольника ABC: AB = 8 см, AC = 8√2 см, BC = 8 см. Теперь мы можем найти угол ВАС (α) с помощью того же закона косинусов:

1. Используем закон косинусов для угла α:
2. AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(α).
3. Подставим известные значения:
4. (8√2)² = 8² + 8² - 2 * 8 * 8 * cos(α).
5. 128 = 64 + 64 - 128 * cos(α).
6. 128 = 128 - 128 * cos(α).
7. 0 = -128 * cos(α).
8. cos(α) = 0.

Таким образом, угол α равен 90 градусов, так как косинус 90 градусов равен 0.

Ответ: Градусная мера угла ВАС в треугольнике ABC равна 90 градусов.