Чтобы найти площадь правильного треугольника, зная радиус вписанной окружности, мы можем воспользоваться следующей формулой:

Площадь треугольника (S) равна произведению радиуса вписанной окружности (r) и полупериметра (p) треугольника:

S = r * p

В случае правильного треугольника, его стороны равны, и мы можем выразить полупериметр через длину стороны:

• Обозначим длину стороны правильного треугольника через a.
• Полупериметр (p) равен:
• p = (3a) / 2

Теперь, зная, что радиус вписанной окружности (r) правильного треугольника можно выразить через длину стороны (a) следующим образом:

r = a / (2√3)

Теперь подставим это значение радиуса в формулу для площади:

S = r * p = (a / (2√3)) * (3a / 2)

Упростим полученное выражение:

S = (3a^2) / (4√3)

Теперь, зная, что радиус вписанной окружности равен 6, мы можем выразить a через r:

6 = a / (2√3)

Отсюда:

a = 6 * 2√3 = 12√3

Теперь подставим значение a в формулу для площади:

S = (3 * (12√3)^2) / (4√3)

Вычислим (12√3)^2:

(12√3)^2 = 144 * 3 = 432

Теперь подставим это значение в формулу площади:

S = (3 * 432) / (4√3) = 1296 / (4√3) = 324 / √3

Теперь, чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √3:

S = (324√3) / 3 = 108√3

Таким образом, площадь правильного треугольника, радиус вписанной окружности которого равен 6, равна 108√3 квадратных единиц.