Чтобы найти площадь прямоугольника, нам нужно использовать данные о периметре и радиусе окружности, описанной вокруг него. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Периметр P прямоугольника можно выразить через его длины a и b следующим образом:

P = 2(a + b)

Из условия задачи известно, что периметр равен 68:

2(a + b) = 68

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 34

Радиус R окружности, описанной вокруг прямоугольника, связан со сторонами a и b следующим образом:

R = (sqrt(a^2 + b^2)) / 2

В нашем случае радиус R равен 13:

(sqrt(a^2 + b^2)) / 2 = 13

Умножим обе стороны на 2:

sqrt(a^2 + b^2) = 26

a^2 + b^2 = 676

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• a + b = 34
• a^2 + b^2 = 676

Из первого уравнения выразим b:

b = 34 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a^2 + (34 - a)^2 = 676

Раскроем скобки:

a^2 + (34^2 - 68a + a^2) = 676

2a^2 - 68a + 1156 = 676

Упростим уравнение:

2a^2 - 68a + 480 = 0

Разделим все на 2:

a^2 - 34a + 240 = 0

Теперь найдем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 * 1 * 240 = 1156 - 960 = 196

Корни уравнения можно найти по формуле:

a = (34 ± sqrt(196)) / 2

sqrt(196) = 14, следовательно:

a1 = (34 + 14) / 2 = 24

a2 = (34 - 14) / 2 = 10

Таким образом, у нас есть два возможных значения для a: 24 и 10. Теперь найдем значение b:

• Если a = 24, то b = 34 - 24 = 10.
• Если a = 10, то b = 34 - 10 = 24.

В любом случае, стороны прямоугольника равны 24 и 10.

Площадь S прямоугольника вычисляется по формуле:

S = a * b

Подставим найденные значения:

S = 24 * 10 = 240.

Ответ: Площадь прямоугольника равна 240 квадратных единиц.