Каковы площади поверхности и объемы следующих геометрических фигур:

1. Прямой призмы с основанием в виде параллелограмма, стороны которого равны 7 и 10 см, и угол между ними составляет 30 градусов, высота призмы равна 9 см.
2. Правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 6 см, высота составляет 4 см, а апофема равна 5 см.
3. Цилиндра с радиусом 5 см и высотой 9 см.
4. Конуса, сформированного вращением прямоугольного треугольника с катетами 15 и 8 см вокруг оси, которая проходит через катет длиной 15 см.

Геометрия 10 класс Площади и объемы геометрических фигур площадь поверхности объём прямая призма параллелограмм высота призмы правильная пирамида сторона основания цилиндр радиус конус вращение треугольника катеты угол между сторонами Новый

Давайте поочередно рассчитаем площади поверхности и объемы каждой из указанных фигур.

1. Прямая призма с основанием в виде параллелограмма

Для начала найдем площадь основания параллелограмма. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

Площадь = основание * высота.

Однако, в нашем случае у нас есть длины сторон и угол между ними. Мы можем использовать следующую формулу:

Площадь = a * b * sin(угол),

где a и b - длины сторон параллелограмма, а угол - угол между ними.

• a = 7 см
• b = 10 см
• угол = 30 градусов

Сначала найдем sin(30°), который равен 0.5:

Площадь = 7 * 10 * 0.5 = 35 см².

Теперь найдем объем призмы:

Объем = Площадь основания * высота.

Объем = 35 см² * 9 см = 315 см³.

Теперь найдем площадь поверхности призмы. Площадь поверхности включает площадь двух оснований и площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности = периметр основания * высота.

• Периметр = 2 * (a + b) = 2 * (7 + 10) = 34 см.
• Площадь боковой поверхности = 34 см * 9 см = 306 см².

Итак, общая площадь поверхности:

Площадь поверхности = 2 * Площадь основания + Площадь боковой поверхности = 2 * 35 + 306 = 406 см².

2. Правильная четырехугольная пирамида

Для правильной четырехугольной пирамиды площадь основания можно найти по формуле:

Площадь основания = a²,

где a - длина стороны основания.

• a = 6 см.

Площадь основания = 6² = 36 см².

Теперь найдем объем пирамиды:

Объем = (1/3) * Площадь основания * высота.

Объем = (1/3) * 36 см² * 4 см = 48 см³.

Теперь найдем площадь поверхности пирамиды. Площадь поверхности = Площадь основания + Площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности = 1/2 * периметр основания * апофема.

• Периметр = 4 * a = 4 * 6 = 24 см.
• Площадь боковой поверхности = 1/2 * 24 см * 5 см = 60 см².

Итак, общая площадь поверхности:

Площадь поверхности = 36 см² + 60 см² = 96 см².

3. Цилиндр

Для цилиндра объем вычисляется по формуле:

Объем = π * r² * h,

где r - радиус основания, h - высота.

• r = 5 см
• h = 9 см

Объем = π * 5² * 9 = 225π см³ (примерно 706.5 см³).

Теперь найдем площадь поверхности цилиндра:

Площадь поверхности = 2 * π * r * (r + h).

Площадь поверхности = 2 * π * 5 * (5 + 9) = 2 * π * 5 * 14 = 140π см² (примерно 439.8 см²).

4. Конус

Для конуса объем вычисляется по формуле:

Объем = (1/3) * π * r² * h.

Сначала найдем радиус основания. Поскольку конус образован вращением прямоугольного треугольника, радиус основания равен катету, перпендикулярному оси вращения, то есть 8 см.

• r = 8 см
• h = 15 см
(высота конуса равна длине катета, который не является осью вращения)

Объем = (1/3) * π * 8² * 15 = (1/3) * π * 64 * 15 = 320π см³ (примерно 1005.3 см³).

Теперь найдем площадь поверхности конуса:

Площадь поверхности = π * r * (r + l),

где l - образующая конуса. Чтобы найти l, используем теорему Пифагора:

l = √(r² + h²) = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 см.

Площадь поверхности = π * 8 * (8 + 17) = π * 8 * 25 = 200π см² (примерно 628.3 см²).

Итак, подводя итог:

• Прямая призма: Площадь поверхности = 406 см², Объем = 315 см³.
• Правильная четырехугольная пирамида: Площадь поверхности = 96 см², Объем = 48 см³.
• Цилиндр: Площадь поверхности = 140π см² (примерно 439.8 см²), Объем = 225π см³ (примерно 706.5 см³).
• Конус: Площадь поверхности = 200π см² (примерно 628.3 см²), Объем = 320π см³ (примерно 1005.3 см³).