2025-08-25 10:10:56
Каковы углы ромба ABCD, если его сторона равна 8 см, а большая диагональ равна 8 √ 3 см? Задание оценивается в 45 баллов.
Геометрия 10 класс Углы и диагонали ромба углы ромба ромб ABCD сторона ромба большая диагональ геометрия 10 класс задачи по геометрии решение задач углы и диагонали свойства ромба математические задачи
2025-08-26 05:41:41
Чтобы найти углы ромба ABCD, нам нужно использовать свойства ромба и теорему о диагоналях. Напомню, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
Дано:
- Сторона ромба (a) = 8 см
- Большая диагональ (AC) = 8√3 см
Обозначим меньшую диагональ как BD. Мы знаем, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, и можно использовать теорему Пифагора для нахождения BD.
- Разделим большую диагональ AC пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда AO = OC = 8√3 / 2 = 4√3 см.
- Теперь, используя свойства ромба, у нас есть треугольник AOB, где AO - это половина большой диагонали, OB - это половина меньшей диагонали (BD/2), и AB - это сторона ромба.
- Применим теорему Пифагора к треугольнику AOB: (AB)² = (AO)² + (OB)².
Подставим известные значения:
- (8)² = (4√3)² + (BD/2)²
- 64 = 48 + (BD/2)²
- (BD/2)² = 64 - 48 = 16
- BD/2 = √16 = 4 см
- Следовательно, BD = 2 * 4 = 8 см.
Теперь у нас есть обе диагонали: AC = 8√3 см и BD = 8 см. Теперь мы можем найти углы ромба.
Рассмотрим треугольник AOB:
- Мы знаем, что AO = 4√3 см и OB = 4 см.
- Теперь можем найти угол AOB с помощью функции тангенса:
tan(∠AOB) = OB / AO = 4 / (4√3) = 1 / √3.
Следовательно, угол AOB = 30° (так как tan(30°) = 1/√3).
Поскольку диагонали ромба делят углы пополам, угол AOD также равен 30°. Таким образом, угол A = 2 * 30° = 60°.
Так как противоположные углы в ромбе равны, угол B также равен 60°. Углы C и D будут равны 180° - 60° = 120°.
Ответ: Углы ромба ABCD равны 60° и 120°.