Чтобы найти объём правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объёма пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где V - объём, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

В нашем случае основание пирамиды является правильным шестиугольником. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

S = (3√3 / 2) * a²

где a - длина ребра основания. В нашем случае a = 2√6. Подставим это значение в формулу для площади:

1. Сначала найдем a²:
• a² = (2√6)² = 4 * 6 = 24.
2. Теперь подставим значение a² в формулу для площади S:
• S = (3√3 / 2) * 24 = 36√3.

Теперь нам нужна высота пирамиды h. Мы знаем, что боковое ребро пирамиды равно 6√6. Чтобы найти высоту, воспользуемся свойствами правильной пирамиды.

В правильной шестиугольной пирамиде высота h, боковое ребро и радиус описанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник. Радиус описанной окружности R можно найти по формуле:

R = (a√3) / 2

Подставим значение a:

1. R = (2√6 * √3) / 2 = √18 = 3√2.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты h:

(боковое ребро)² = h² + R²

Подставим известные значения:

1. (6√6)² = h² + (3√2)²
2. 216 = h² + 18
3. h² = 216 - 18 = 198
4. h = √198 = √(9 * 22) = 3√22.

Теперь, когда у нас есть и площадь основания S, и высота h, мы можем подставить их в формулу для объёма V:

1. V = (1/3) * S * h = (1/3) * 36√3 * 3√22
2. V = 36√3 * √22 = 36√66.

Таким образом, объём правильной шестиугольной пирамиды равен 36√66.