Какой радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, если угол при его вершине равен 120 градусов, а длина боковой стороны составляет 3 см?

Геометрия 10 класс Вписанная окружность в треугольнике радиус окружности вписанный треугольник равнобедренный треугольник угол 120 градусов длина боковой стороны 3 см Новый

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, нам нужно использовать формулу для радиуса вписанной окружности (r) через площадь (S) и полупериметр (p) треугольника:

Формула: r = S / p

Теперь давайте выполним шаги для решения задачи:

1. Определение сторон треугольника:
   • Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC = 3 см, а угол A = 120 градусов.
   • Сторона BC будет основанием треугольника. Мы можем найти её длину, используя теорему косинусов.
2. Применение теоремы косинусов:
   • Согласно теореме косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где C – угол между сторонами a и b.
   • В нашем случае: a = b = 3 см, C = 120 градусов.
   • Так как cos(120 градусов) = -1/2, подставим значения:
   • BC^2 = 3^2 + 3^2 - 2 * 3 * 3 * (-1/2).
   • BC^2 = 9 + 9 + 9 = 27.
   • BC = √27 = 3√3 см.
3. Находим полупериметр (p):
   • Полупериметр p = (AB + AC + BC) / 2 = (3 + 3 + 3√3) / 2 = (6 + 3√3) / 2 = 3 + (3√3)/2 см.
4. Находим площадь (S) треугольника:
   • Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * основание * высота.
   • Для нахождения высоты проведем перпендикуляр из вершины A к основанию BC, обозначим точку пересечения как D.
   • В треугольнике ABD угол ADB равен 60 градусов (так как треугольник равнобедренный), и AD является высотой.
   • Используя тригонометрию, можно найти AD: AD = AB * sin(60 градусов) = 3 * (√3/2) = (3√3)/2 см.
   • Теперь найдем площадь: S = (1/2) * BC * AD = (1/2) * (3√3) * (3√3)/2 = (27/4) см².
5. Находим радиус вписанной окружности (r):
   • Теперь подставим значения в формулу r = S / p:
   • r = (27/4) / (3 + (3√3)/2).
   • Для упрощения, умножим числитель и знаменатель на 2:
   • r = (27/4) * 2 / (6 + 3√3) = (27/2) / (6 + 3√3).
   • Теперь можно вычислить значение r, но это можно оставить в таком виде или подставить значение √3 ≈ 1.732 для численного ответа.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен (27/2) / (6 + 3√3) см.