Для решения задачи найдем радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды. Правильная треугольная пирамида состоит из треугольного основания и трех боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками. Давайте разберем шаги, которые помогут нам найти радиус описанного шара.

Пусть A, B и C — вершины основания пирамиды, а точка D — вершина пирамиды. Длина ребра основания AB равна 3. Поскольку основание является правильным треугольником, все его стороны равны, и высота основания (h_основания) может быть найдена по формуле:

• h_основания = (sqrt(3) / 2) * a, где a — длина стороны основания.

Подставим a = 3:

• h_основания = (sqrt(3) / 2) * 3 = (3 * sqrt(3)) / 2.

Обозначим высоту пирамиды как h. Мы знаем, что боковое ребро (например, AD) образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Используем тригонометрию для нахождения высоты:

• AD = h / sin(30°).
• sin(30°) = 1/2, следовательно, AD = h / (1/2) = 2h.

Теперь найдем длину бокового ребра. Используем теорему Пифагора для треугольника AOD, где O — центр основания. Расстояние от центра основания до вершины A равно радиусу описанной окружности окружности основания. Радиус описанной окружности R можно найти по формуле:

• R = a / (sqrt(3)),где a — длина стороны основания.

Подставим a = 3:

• R = 3 / (sqrt(3)) = sqrt(3).

Теперь мы можем выразить AD через R и h:

• AD^2 = R^2 + h^2.

Подставим R и выразим h:

• (2h)^2 = (sqrt(3))^2 + h^2.
• 4h^2 = 3 + h^2.
• 3h^2 = 3.
• h^2 = 1.
• h = 1.

Радиус описанного шара R_шар можно найти по формуле:

• R_шар = (a * sqrt(6)) / 6, где a — длина стороны основания.

Подставим a = 3:

• R_шар = (3 * sqrt(6)) / 6 = (sqrt(6)) / 2.

Ответ: Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен (sqrt(6)) / 2.