Какой радиус шара описанного около правильной треугольной пирамиды, если боковое ребро образует угол 30 градусов с плоскостью основания, а длина ребра основания равна 3?

Геометрия 10 класс Шары и пирамиды радиус шара правильная треугольная пирамида боковое ребро угол 30 градусов длина ребра основания Новый

Для решения задачи найдем радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды. Правильная треугольная пирамида состоит из треугольного основания и трех боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками. Давайте разберем шаги, которые помогут нам найти радиус описанного шара.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.

Пусть A, B и C — вершины основания пирамиды, а точка D — вершина пирамиды. Длина ребра основания AB равна 3. Поскольку основание является правильным треугольником, все его стороны равны, и высота основания (h_основания) может быть найдена по формуле:

• h_основания = (sqrt(3) / 2) * a, где a — длина стороны основания.

Подставим a = 3:

• h_основания = (sqrt(3) / 2) * 3 = (3 * sqrt(3)) / 2.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды как h. Мы знаем, что боковое ребро (например, AD) образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Используем тригонометрию для нахождения высоты:

• AD = h / sin(30°).
• sin(30°) = 1/2, следовательно, AD = h / (1/2) = 2h.

Шаг 3: Найдем длину бокового ребра.

Теперь найдем длину бокового ребра. Используем теорему Пифагора для треугольника AOD, где O — центр основания. Расстояние от центра основания до вершины A равно радиусу описанной окружности окружности основания. Радиус описанной окружности R можно найти по формуле:

• R = a / (sqrt(3)), где a — длина стороны основания.

Подставим a = 3:

• R = 3 / (sqrt(3)) = sqrt(3).

Теперь мы можем выразить AD через R и h:

• AD^2 = R^2 + h^2.

Подставим R и выразим h:

• (2h)^2 = (sqrt(3))^2 + h^2.
• 4h^2 = 3 + h^2.
• 3h^2 = 3.
• h^2 = 1.
• h = 1.

Шаг 4: Найдем радиус описанного шара.

Радиус описанного шара R_шар можно найти по формуле:

• R_шар = (a * sqrt(6)) / 6, где a — длина стороны основания.

Подставим a = 3:

• R_шар = (3 * sqrt(6)) / 6 = (sqrt(6)) / 2.

Ответ: Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен (sqrt(6)) / 2.