Чтобы найти угол между плоскостью АВС и плоскостью А1ВС в прямой призме, сначала необходимо определить нормали к этим плоскостям.

1. Определим координаты вершин прямоугольного треугольника АВС:

• Пусть точка A(0, 0, 0) - это вершина с прямым углом.
• Точка B(15, 0, 0) - по оси X, так как катет AB=15.
• Точка C(0, 8, 0) - по оси Y, так как катет AC=8.

2. Определим координаты точек A1, B1 и C1:

• Точка A1(0, 0, 30) - это вершина, которая находится над A на высоте 30.
• Точка B1(15, 0, 30) - аналогично, над B.
• Точка C1(0, 8, 30) - аналогично, над C.

3. Найдем нормали к плоскостям:

• Плоскость АВС лежит в плоскости Z=0, и нормаль к ней направлена вдоль оси Z: N1(0, 0, 1).
• Плоскость A1ВС проходит через точки A1(0, 0, 30),B(15, 0, 0) и C(0, 8, 0). Для нахождения нормали к этой плоскости воспользуемся векторами AB и AC:

Вектор AB = B - A = (15, 0, 0) - (0, 0, 30) = (15, 0, -30)

Вектор AC = C - A = (0, 8, 0) - (0, 0, 30) = (0, 8, -30)

4. Найдем векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормаль к плоскости A1BC:

Нормаль N2 = AB x AC = |i j k|

|15 0 -30|

|0 8 -30|

Раскроем определитель:

N2 = i(0*(-30) - 8*(-30)) - j(15*(-30) - 0*(-30)) + k(15*8 - 0*0)

N2 = i(240) - j(-450) + k(120)

N2 = (240, 450, 120)

5. Теперь найдем угол между нормалями N1 и N2:

Угол между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|)

Нормаль N1 = (0, 0, 1),а N2 = (240, 450, 120).

Скалярное произведение N1 и N2:

N1 * N2 = 0*240 + 0*450 + 1*120 = 120.

Далее, найдем длины векторов:

• |N1| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1.
• |N2| = √(240^2 + 450^2 + 120^2) = √(57600 + 202500 + 14400) = √(276500) ≈ 525.5.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 120 / (1 * 525.5) ≈ 0.228.

6. Находим угол θ:

θ = arccos(0.228) ≈ 1.34 радиан ≈ 76.7 градусов.

Таким образом, угол между плоскостью АВС и плоскостью A1ВС составляет примерно 76.7 градусов.