Какой угол образуется между плоскостью АВС и плоскостью А1ВС в прямой призме АВСА1В1С1, если основанием является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А, где катеты АС=8 и АВ=15, а высота АА1 составляет 30?

Геометрия 10 класс Прямые призмы и углы между плоскостями Угол между плоскостями прямой призма основание треугольник прямоугольный треугольник катеты треугольника высота призмы геометрия 10 класс задачи по геометрии угол плоскости свойства треугольников Новый

Чтобы найти угол между плоскостью АВС и плоскостью А1ВС в прямой призме, сначала необходимо определить нормали к этим плоскостям.

1. Определим координаты вершин прямоугольного треугольника АВС:

• Пусть точка A(0, 0, 0) - это вершина с прямым углом.
• Точка B(15, 0, 0) - по оси X, так как катет AB=15.
• Точка C(0, 8, 0) - по оси Y, так как катет AC=8.

2. Определим координаты точек A1, B1 и C1:

• Точка A1(0, 0, 30) - это вершина, которая находится над A на высоте 30.
• Точка B1(15, 0, 30) - аналогично, над B.
• Точка C1(0, 8, 30) - аналогично, над C.

3. Найдем нормали к плоскостям:

• Плоскость АВС лежит в плоскости Z=0, и нормаль к ней направлена вдоль оси Z: N1(0, 0, 1).
• Плоскость A1ВС проходит через точки A1(0, 0, 30), B(15, 0, 0) и C(0, 8, 0). Для нахождения нормали к этой плоскости воспользуемся векторами AB и AC:

Вектор AB = B - A = (15, 0, 0) - (0, 0, 30) = (15, 0, -30)

Вектор AC = C - A = (0, 8, 0) - (0, 0, 30) = (0, 8, -30)

4. Найдем векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормаль к плоскости A1BC:

Нормаль N2 = AB x AC = |i j k|

|15 0 -30|

|0 8 -30|

Раскроем определитель:

N2 = i(0*(-30) - 8*(-30)) - j(15*(-30) - 0*(-30)) + k(15*8 - 0*0)

N2 = i(240) - j(-450) + k(120)

N2 = (240, 450, 120)

5. Теперь найдем угол между нормалями N1 и N2:

Угол между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|)

Нормаль N1 = (0, 0, 1), а N2 = (240, 450, 120).

Скалярное произведение N1 и N2:

N1 * N2 = 0*240 + 0*450 + 1*120 = 120.

Далее, найдем длины векторов:

• |N1| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1.
• |N2| = √(240^2 + 450^2 + 120^2) = √(57600 + 202500 + 14400) = √(276500) ≈ 525.5.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 120 / (1 * 525.5) ≈ 0.228.

6. Находим угол θ:

θ = arccos(0.228) ≈ 1.34 радиан ≈ 76.7 градусов.

Таким образом, угол между плоскостью АВС и плоскостью A1ВС составляет примерно 76.7 градусов.