Какой угол образуется между прямыми ВА1 и СВ1 в правильной треугольной призме АВСА1В1С1, если длина стороны основания равна 2/3, а длина бокового ребра равна 1?

Геометрия 10 класс Углы и их свойства в пространстве угол между прямыми правильная треугольная призма длина стороны основания длина бокового ребра геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти угол между прямыми ВА1 и СВ1 в правильной треугольной призме АВСА1В1С1, нам нужно сначала определить координаты вершин призмы.

Пусть основание треугольной призмы ABC будет находиться в плоскости XY, а боковые ребра будут направлены вдоль оси Z. Правильный треугольник ABC имеет следующие координаты:

• A(0, 0, 0)
• B(2/3, 0, 0)
• C(1/3, sqrt(3)/3, 0)

Теперь определим координаты верхней грани A1B1C1:

• A1(0, 0, 1)
• B1(2/3, 0, 1)
• C1(1/3, sqrt(3)/3, 1)

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым ВА1 и СВ1:

• Вектор ВА1: A1 - B = (0 - 2/3, 0 - 0, 1 - 0) = (-2/3, 0, 1)
• Вектор СВ1: B1 - C = (2/3 - 1/3, 0 - sqrt(3)/3, 1 - 0) = (1/3, -sqrt(3)/3, 1)

Теперь мы можем использовать скалярное произведение для нахождения угла между этими векторами. Скалярное произведение векторов V1 и V2 можно выразить следующим образом:

V1 * V2 = |V1| * |V2| * cos(θ),

где θ - угол между векторами, а |V1| и |V2| - длины векторов.

Сначала найдем длины векторов:

• |VA1| = sqrt((-2/3)² + 0² + 1²) = sqrt(4/9 + 1) = sqrt(13/9) = sqrt(13)/3
• |SV1| = sqrt((1/3)² + (-sqrt(3)/3)² + 1²) = sqrt(1/9 + 3/9 + 1) = sqrt(5/3)

Теперь найдем скалярное произведение векторов:

V1 * V2 = (-2/3) * (1/3) + 0 * (-sqrt(3)/3) + 1 * 1 = -2/9 + 0 + 1 = 7/9.

Теперь подставим все в формулу для нахождения угла:

7/9 = (sqrt(13)/3) * (sqrt(5/3)) * cos(θ).

Теперь выразим cos(θ):

cos(θ) = (7/9) / (sqrt(13)/3 * sqrt(5/3)) = (7/9) / (sqrt(65)/9) = 7/sqrt(65).

Теперь можем найти угол θ:

θ = arccos(7/sqrt(65)).

Таким образом, угол между прямыми ВА1 и СВ1 в правильной треугольной призме АВСА1В1С1 равен arccos(7/sqrt(65)).