Отрезки МN и CD пересекаются, и точка пересечения (точка F) делит их пополам. Как можно доказать следующее: 1) равенство треугольников MFC и DFN, MDC и DCN; 2) параллельность прямых МС и DN; 3) что четырехугольник MCND является параллелограммом?

Геометрия 10 класс Треугольники и параллелограммы отрезки MN и CD точка пересечения F равенство треугольников MFC и DFN треугольники MDC и DCN параллельность прямых МС и DN четырехугольник MCND параллелограмм MCND доказательства в геометрии свойства треугольников свойства параллелограмма Новый

Давайте пошагово разберем, как можно доказать каждое из утверждений, используя свойства треугольников и параллельных линий.

1) Равенство треугольников MFC и DFN, а также MDC и DCN:

Для доказательства равенства треугольников используем критерий равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).

• Точки M, N, C, D и F - это точки пересечения и деления отрезков.
• Поскольку точка F делит отрезки MN и CD пополам, то:
• MF = FN (половина отрезка MN)
• CF = FD (половина отрезка CD)
• Углы MFC и DFN являются вертикальными углами и, следовательно, равны.

Таким образом, по критерию SAS, треугольники MFC и DFN равны.

Аналогично, для треугольников MDC и DCN:

• MD = DN (половина отрезка MN)
• CF = FD (половина отрезка CD)
• Углы MDC и DCN также равны (вертикальные углы).

Следовательно, треугольники MDC и DCN также равны по критерию SAS.

2) Параллельность прямых MS и DN:

Чтобы доказать, что прямые MS и DN параллельны, воспользуемся теоремой о параллельности прямых, которые образуют равные углы с секущей.

• Мы уже доказали, что углы MFC и DFN равны.
• Также углы MDC и DCN равны.

Поскольку углы MFC и DFN равны, а также углы MDC и DCN равны, то по теореме о параллельных прямых, прямые MS и DN являются параллельными.

3) Четырехугольник MCND является параллелограммом:

Чтобы показать, что четырехугольник MCND является параллелограммом, нам нужно доказать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

• Мы уже доказали, что прямые MS и DN параллельны.
• Также мы знаем, что отрезки MC и ND равны, так как F делит их пополам.

Таким образом, у нас есть:

• MC = ND (по равенству треугольников)
• MS || DN (по параллельности прямых)

Следовательно, по определению параллелограмма, четырехугольник MCND является параллелограммом, так как его противоположные стороны равны и параллельны.

Таким образом, все три утверждения доказаны.