2024-06-22 09:48:18
В правильном четырехугольной пирамиде mabcd боковое ребро равно 12 см и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти площадь боковой поверхности.
Геометрия 10 класс Площадь боковой поверхности пирамиды. Ключевые слова: - четырёхугольная пирамида - боковое ребро - наклонено к плоскости основания под углом 60° - площадь боковой поверхности.
2024-06-29 09:48:36
Решение:
Боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды — это равные равнобедренные треугольники. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей этих треугольников.
Найдём площадь одного из них, например $S_{\text{АВСD}}$. В этом треугольнике известны длина ребра $AD$ (сторона основания) и длина бокового ребра $SA$ (высота треугольника).
Половина диагонали квадрата $AD^{\ast}$ является катетом прямоугольного треугольника $SAD$, в котором гипотенуза $SA = 12$ см, а угол при вершине равен $60°$. Тогда:
- $\sin 60° = AD^{\ast} / SA$, откуда $AD^{\ast}= SA \cdot \sin 60°$;
- $AD^{\ast}= 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ (см);
- сторона основания пирамиды $AD = 2AD^{\ast}$, то есть $AD= 12\sqrt{3}$.
Площадь треугольника $S_{АВСD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SA = \frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{3} \cdot 12 =75\sqrt{3}$ ($см^2$).
Так как все боковые грани равны, площадь боковой поверхности пирамиды будет равна $75\sqrt{3}\cdot4=300\sqrt{3}$ $(см^2)$.
Ответ: площадь боковой поверхности равна $300\sqrt{3}$ $см^2$.
В решении используется теорема о площади треугольника и определение синуса угла прямоугольного треугольника.
