2024-06-03 14:41:51
Диагональ сечения цилиндра, параллельного оси, наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения, если радиус цилиндра равен 6 см, а хорда, по которой плоскость сечения пересекает основание, стягивает дугу в 60°.
Геометрия 10 класс Площадь сечения цилиндра - 10 класс - цилиндр - сечение цилиндра - параллельное оси - диагональ сечения - наклонена к плоскости основания под углом 30° - радиус цилиндра равен 6 см - хорда - стягивает дугу в 60°.
2024-06-03 14:42:00
Решение:
Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра. В сечении получается прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, где $a$ — высота цилиндра, а $b$ — хорда, по которой плоскость сечения пересекает основание.
Угол между диагональю сечения и плоскостью основания равен 30°. Это значит, что треугольник, образованный радиусами основания цилиндра и хордой $m$, является равносторонним.
Хорда $m$ стягивает дугу в 60°, поэтому центральный угол, образованный радиусами, также равен 60°.
Треугольник равносторонний, следовательно, $m = R = 6 см$.
Прямоугольный треугольник: катет — высота цилиндра $H$, катет — хорда $m=6 см$, угол $α=30°$.
Тангенс угла $α$ равен отношению высоты к хорде: $tgα = H/m$. Тангенс $30°$ равен $√3/3$. Тогда $H = m tgα = 6 √3 / 3 = 2√3 см$.
Площадь сечения равна произведению сторон прямоугольника: $S = mH = 62√3 = 12√3 см²$.
Ответ: площадь сечения равна $12√3 см²$.
