Площадь полной поверхности конуса составляет 108 π см², а высота равна 6√3. Какой угол образует образующая конуса с плоскостью его основания?

Геометрия 10 класс Угол наклона образующей конуса угол образующая конуса площадь полной поверхности конуса высота конуса геометрия конуса задачи по геометрии конус и его свойства угол с плоскостью основания Новый

Чтобы найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания, нам нужно использовать некоторые свойства конуса и тригонометрию.

Давайте начнем с того, что площадь полной поверхности конуса S выражается формулой:

S = πr² + πrl

где:

• r - радиус основания конуса;
• l - образующая конуса;
• h - высота конуса.

Из условия задачи нам известно, что площадь полной поверхности S = 108π см² и высота h = 6√3 см. Подставим известные значения в формулу:

108π = πr² + πrl

Сократим на π:

108 = r² + rl

Теперь нам нужно найти образующую l. Мы можем использовать теорему Пифагора, так как в конусе образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник:

l = √(r² + h²)

Подставим h = 6√3:

l = √(r² + (6√3)²) = √(r² + 108)

Теперь подставим выражение для l в уравнение площади:

108 = r² + r√(r² + 108)

Это уравнение можно решить, но давайте для начала найдем угол между образующей и основанием. Угол α можно найти с помощью тангенса:

tan(α) = h / r

Теперь нам нужно найти радиус r. Для этого мы можем использовать уравнение, полученное ранее:

108 = r² + r√(r² + 108)

Это уравнение можно решить численно или графически, но давайте попробуем подставить некоторые значения для r и посмотреть, что получится. Например, если r = 6:

108 = 6² + 6√(6² + 108)

108 = 36 + 6√(36 + 108) = 36 + 6√144 = 36 + 6 * 12 = 36 + 72 = 108

Это уравнение верно, значит, r = 6 см.

Теперь подставим r в формулу для нахождения тангенса угла:

tan(α) = h / r = 6√3 / 6 = √3

Теперь найдем угол α:

α = arctan(√3)

Мы знаем, что arctan(√3) = 60°.

Таким образом, угол между образующей конуса и плоскостью его основания составляет 60°.