Подробно решить:

Даны середины сторон треугольника с координатами М(-1;5), N(1;1), P(4;3). Как найти координаты его вершин?

Геометрия 10 класс Координаты вершин треугольника по координатам его середины геометрия 10 класс треугольник середины сторон координаты решение задачи вершины треугольника координаты вершин М(-1;5) N(1;1) P(4;3) математическая задача аналитическая геометрия Новый

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойством, что координаты середины отрезка, соединяющего две точки, равны среднему арифметическому координат этих точек. Давайте обозначим вершины треугольника как A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3).

Мы знаем, что:

• Точка M(-1, 5) является серединой стороны BC.
• Точка N(1, 1) является серединой стороны AC.
• Точка P(4, 3) является серединой стороны AB.

Давайте запишем уравнения для нахождения координат вершин треугольника:

1. Для точки M(-1, 5), которая является серединой стороны BC:
• Среднее арифметическое абсцисс: (x2 + x3) / 2 = -1
• Среднее арифметическое ординат: (y2 + y3) / 2 = 5
2. Для точки N(1, 1), которая является серединой стороны AC:
• Среднее арифметическое абсцисс: (x1 + x3) / 2 = 1
• Среднее арифметическое ординат: (y1 + y3) / 2 = 1
3. Для точки P(4, 3), которая является серединой стороны AB:
• Среднее арифметическое абсцисс: (x1 + x2) / 2 = 4
• Среднее арифметическое ординат: (y1 + y2) / 2 = 3

Теперь решим эти уравнения:

1. Из уравнений для M(-1, 5):
• x2 + x3 = -2
• y2 + y3 = 10
2. Из уравнений для N(1, 1):
• x1 + x3 = 2
• y1 + y3 = 2
3. Из уравнений для P(4, 3):
• x1 + x2 = 8
• y1 + y2 = 6

Теперь решим систему уравнений:

• Из первого уравнения x2 + x3 = -2 и второго x1 + x3 = 2 вычтем второе из первого:
• (x2 + x3) - (x1 + x3) = -2 - 2
• x2 - x1 = -4
• x2 = x1 - 4
• Из первого уравнения y2 + y3 = 10 и второго y1 + y3 = 2 вычтем второе из первого:
• (y2 + y3) - (y1 + y3) = 10 - 2
• y2 - y1 = 8
• y2 = y1 + 8

Подставим x2 = x1 - 4 и y2 = y1 + 8 в уравнения x1 + x2 = 8 и y1 + y2 = 6:

• x1 + (x1 - 4) = 8
• 2x1 - 4 = 8
• 2x1 = 12
• x1 = 6

• y1 + (y1 + 8) = 6
• 2y1 + 8 = 6
• 2y1 = -2
• y1 = -1

Теперь найдем x2 и y2:

• x2 = x1 - 4 = 6 - 4 = 2
• y2 = y1 + 8 = -1 + 8 = 7

Найдем x3 и y3, подставив x1 = 6 и y1 = -1 в уравнения x1 + x3 = 2 и y1 + y3 = 2:

• 6 + x3 = 2
• x3 = 2 - 6
• x3 = -4

• -1 + y3 = 2
• y3 = 2 + 1
• y3 = 3

Таким образом, координаты вершин треугольника: A(6, -1), B(2, 7), C(-4, 3).