Давайте разберем каждое из геометрических преобразований на примере произвольного треугольника ABC. Мы будем использовать следующие определения:

• Центральная симметрия — это преобразование, при котором каждая точка треугольника перемещается в точку, симметричную ей относительно заданной точки (центра симметрии).
• Осевая симметрия — это преобразование, при котором каждая точка треугольника перемещается в точку, симметричную ей относительно заданной прямой (оси симметрии).
• Поворот — это преобразование, при котором треугольник поворачивается вокруг заданной точки на определенный угол.
• Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка треугольника перемещается в точку, расположенную на прямой, проходящей через заданную точку (центр гомотетии) и исходную точку, с определенным коэффициентом.

Теперь рассмотрим каждое преобразование подробнее:

1. Центральная симметрия:
   1. Выберите центр симметрии O.
   2. Для каждой вершины треугольника (A, B, C) найдите симметричные точки (A', B', C') относительно точки O. Это делается следующим образом:
      • Для точки A: проведите прямую OA и отметьте точку A' на этой прямой так, чтобы OA = OA'.
      • Аналогично найдите точки B' и C'.
   3. Треугольник A'B'C' будет изображением треугольника ABC при центральной симметрии.
2. Осевая симметрия:
   1. Выберите ось симметрии (например, прямую l).
   2. Для каждой вершины треугольника (A, B, C) найдите симметричные точки (A', B', C') относительно прямой l. Это делается следующим образом:
      • Проведите перпендикуляр к оси l из точки A и отметьте точку A' на равном расстоянии от l.
      • Аналогично найдите точки B' и C'.
   3. Треугольник A'B'C' будет изображением треугольника ABC при осевой симметрии.
3. Поворот:
   1. Выберите точку O (центр поворота) и угол θ (поворота).
   2. Для каждой вершины треугольника (A, B, C) найдите новые координаты (A', B', C') после поворота:
      • Используйте формулы поворота: если O — это (x0, y0), то для A(x1, y1) новые координаты A' будут:
        • x' = x0 + (x1 - x0) * cos(θ) - (y1 - y0) * sin(θ)
        • y' = y0 + (x1 - x0) * sin(θ) + (y1 - y0) * cos(θ)
      • Аналогично найдите новые координаты для B' и C'.
   3. Треугольник A'B'C' будет изображением треугольника ABC после поворота на угол θ.
4. Гомотетия:
   1. Выберите центр гомотетии O и коэффициент k.
   2. Для каждой вершины треугольника (A, B, C) найдите новые точки (A', B', C') с помощью следующей формулы:
      • A' = O + k(A - O)
      • Аналогично для B' и C'.
   3. Треугольник A'B'C' будет изображением треугольника ABC при гомотетии с центром O и коэффициентом k.

Теперь вы знаете, как выполнять каждое из этих геометрических преобразований. Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!