Пусть A, B, C - углы треугольника. Докажите, что sinA * sinB - cosC = cosA * cosB.

Геометрия 10 класс Тригонометрия треугольника углы треугольника sinA sinB cosC cosA cosB доказательство геометрия Тригонометрия свойства углов Новый

Давайте докажем равенство sinA * sinB - cosC = cosA * cosB для углов треугольника A, B и C.

Для начала вспомним, что в любом треугольнике сумма углов равна 180 градусам, то есть:

• A + B + C = 180°.

Из этого уравнения можно выразить угол C:

• C = 180° - A - B.

Теперь воспользуемся тригонометрическими функциями. Мы знаем, что:

• cos(180° - x) = -cos(x).

Таким образом, можем записать:

• cosC = cos(180° - A - B) = -cos(A + B).

Теперь применим формулу косинуса суммы углов:

• cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB.

Следовательно:

• cosC = - (cosA * cosB - sinA * sinB).
• cosC = -cosA * cosB + sinA * sinB.

Теперь подставим это выражение в наше исходное равенство:

• sinA * sinB - cosC = sinA * sinB - (-cosA * cosB + sinA * sinB).

Упрощаем выражение:

• sinA * sinB - cosC = sinA * sinB + cosA * cosB - sinA * sinB.
• sinA * sinB - sinA * sinB + cosA * cosB = cosA * cosB.

Таким образом, мы получили:

• sinA * sinB - cosC = cosA * cosB.

Мы доказали, что sinA * sinB - cosC = cosA * cosB, что и требовалось показать.