Ребро DA тетраэдра D ABC перпендикулярно плоскости основания. Точка D1 - это образ точки D при симметрии относительно плоскости ABC. Какова площадь поверхности многогранника DBCD1, если AD = AB = AC = 2√3 и угол CAB равен 120°?

Геометрия 10 класс Симметрия и площади поверхностей многогранников тетраэдр Симметрия площадь поверхности геометрия 10 класс угол CAB перпендикулярность многогранник треугольник ABC ребро DA свойства тетраэдра Новый

Для нахождения площади поверхности многогранника DBCD1, начнем с анализа тетраэдра DABC и его свойств.

Шаг 1: Найдем координаты точек A, B и C.

Пусть точка A находится в начале координат (0, 0, 0). Поскольку AD = AB = AC = 2√3 и угол CAB равен 120°, мы можем расположить точки B и C следующим образом:

• Пусть B = (2√3, 0, 0).
• Так как угол CAB равен 120°, координаты точки C можно найти, используя формулы для координат точки в системе с углом 120°:
• C = (2√3 * cos(120°), 2√3 * sin(120°), 0) = (-√3, √3√3, 0) = (-√3, 3, 0).

Шаг 2: Найдем координаты точки D.

Поскольку ребро DA перпендикулярно плоскости ABC, координаты точки D будут (0, 0, h), где h - высота. Мы можем выбрать h = 2√3 для удобства, тогда D = (0, 0, 2√3).

Шаг 3: Найдем координаты точки D1.

Точка D1 - это образ точки D при симметрии относительно плоскости ABC. Плоскость ABC можно описать уравнением, используя векторы нормали. Но для упрощения мы можем заметить, что D1 будет находиться на той же высоте, что и D, но ниже плоскости ABC:

• D1 = (0, 0, -2√3).

Шаг 4: Найдем площади граней DBC и D1BC.

Для нахождения площади треугольника DBC, воспользуемся формулой:

• Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота.

Сначала найдем вектор DB и вектор DC:

• DB = B - D = (2√3, 0, 0) - (0, 0, 2√3) = (2√3, 0, -2√3).
• DC = C - D = (-√3, 3, 0) - (0, 0, 2√3) = (-√3, 3, -2√3).

Теперь найдем векторное произведение DB и DC:

• DB x DC = |i j k|
• |2√3 0 -2√3|
• |-√3 3 -2√3|

Вычисляя определитель, получаем:

• i(0 * -2√3 - 3 * -2√3) - j(2√3 * -2√3 - -√3 * -2√3) + k(2√3 * 3 - 0 * -√3).

В результате получаем векторное произведение, и его длину можно использовать для нахождения площади.

Шаг 5: Найдем площадь DBC.

Площадь DBC = 1/2 * |DB x DC|.

Аналогично, площадь D1BC будет равна площади DBC, так как треугольники DBC и D1BC равны по площади.

Шаг 6: Общая площадь поверхности многогранника DBCD1.

Общая площадь поверхности многогранника DBCD1 будет равна:

• Площадь DBC + Площадь D1BC + Площадь ABC.

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

• Площадь ABC = 1/2 * AB * AC * sin(угол CAB).

Итак, суммируя все площади, мы получим искомую площадь поверхности многогранника DBCD1.