Шар и цилиндр имеют одинаковые объемы, при этом радиус шара составляет 3/5 от высоты цилиндра. Каково отношение радиусов шара и цилиндра?

Геометрия 10 класс Объемы фигур отношение радиусов шар цилиндр объемы радиус шара высота цилиндра геометрия Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Сначала вспомним формулы для вычисления объемов шара и цилиндра:

• Объем шара (V_шар) = (4/3) * π * r^3, где r - радиус шара.
• Объем цилиндра (V_цилиндр) = π * R^2 * h, где R - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

По условию задачи, объемы шара и цилиндра равны:

V_шар = V_цилиндр.

Теперь подставим формулы объемов в это равенство:

(4/3) * π * r^3 = π * R^2 * h.

Мы можем сократить π с обеих сторон уравнения:

(4/3) * r^3 = R^2 * h.

Теперь воспользуемся данными из условия. Нам сказано, что радиус шара составляет 3/5 от высоты цилиндра, то есть:

r = (3/5) * h.

Теперь подставим это выражение для r в уравнение:

(4/3) * ((3/5) * h)^3 = R^2 * h.

Посчитаем (3/5) * h в кубе:

((3/5) * h)^3 = (27/125) * h^3.

Подставляем это значение в уравнение:

(4/3) * (27/125) * h^3 = R^2 * h.

Упрощаем левую часть:

(4 * 27)/(3 * 125) * h^3 = R^2 * h.

Это упрощается до:

(108/375) * h^3 = R^2 * h.

Сократим h с обеих сторон (при условии, что h не равно 0):

(108/375) * h^2 = R^2.

Теперь найдем R:

R = √((108/375) * h^2) = h * √(108/375).

Теперь найдем отношение радиусов шара и цилиндра:

Отношение r к R:

r/R = ((3/5) * h) / (h * √(108/375)) = (3/5) / √(108/375).

Теперь упростим это выражение:

r/R = (3/5) * (√(375/108)).

Итак, нам нужно найти численное значение этого отношения. Для этого вычислим √(375/108):

375 = 25 * 15, а 108 = 36 * 3. Таким образом, √(375/108) = √(25/36) * √(15/3) = (5/6) * √5.

Теперь подставим это обратно в уравнение:

r/R = (3/5) * (5/6) * √5 = (3/6) * √5 = (1/2) * √5.

Таким образом, окончательное отношение радиусов шара и цилиндра:

r:R = (1/2) * √5.