Для решения задачи, давайте обозначим стороны треугольника как 9x, 10x и 11x, где x - это некоторый коэффициент, который нам нужно будет найти.

Мы знаем, что точка M находится на расстоянии 7 см от плоскости треугольника и на расстоянии 9 см от каждой из его сторон. Это означает, что высота, проведенная из точки M к плоскости треугольника, равна 7 см. Также, расстояние от точки M до каждой стороны треугольника составляет 9 см.

Сначала найдем площадь треугольника. Площадь треугольника можно выразить через его основание и высоту:

• Пусть S - площадь треугольника, тогда S = (1/2) * основание * высота.
• В нашем случае высота равна 7 см, а основание - это длина стороны треугольника, к которой мы проводим высоту.

• Согласно формуле, площадь треугольника также можно выразить как S = (1/2) * периметр * радиус вписанной окружности.
• Периметр треугольника равен 9x + 10x + 11x = 30x.
• Радиус вписанной окружности (r) равен 9 см (расстояние от точки M до каждой стороны).

• Теперь у нас есть два выражения для площади:
• 1) S = (1/2) * основание * 7
• 2) S = (1/2) * 30x * 9

Теперь приравняем эти два выражения:

• (1/2) * основание * 7 = (1/2) * 30x * 9
• Упрощаем уравнение: основание * 7 = 30x * 9
• основание = (30x * 9) / 7

Теперь нам нужно найти значение x. Для этого нам нужно знать, какому основанию соответствует это значение. Мы можем взять любую из сторон треугольника, например 9x:

• Подставим 9x в уравнение: 9x = (30x * 9) / 7.
• Умножим обе стороны на 7: 63x = 270x.
• Переносим все x в одну сторону: 270x - 63x = 0.
• 207x = 0, что невозможно, так как x не может быть равным нулю.

Таким образом, мы не можем найти x через это уравнение. Однако, мы можем воспользоваться тем, что стороны треугольника имеют отношение 9:10:11. Мы можем выразить стороны через x и подставить в формулу для площади, чтобы найти x.

• Стороны треугольника: 9x, 10x, 11x.
• Сумма сторон: 30x.
• Теперь, чтобы найти x, нужно использовать известное расстояние от M до сторон и высоту. Мы знаем, что высота равна 7 см, а радиус вписанной окружности равен 9 см.

В итоге, если мы подставим разные значения для x, мы сможем найти длины сторон треугольника. Например:

• Если x = 1 см, то стороны будут равны 9 см, 10 см и 11 см.
• Если x = 2 см, то стороны будут равны 18 см, 20 см и 22 см.

Таким образом, длины сторон треугольника можно выразить как 9x, 10x и 11x, где x - любое положительное число.