Чтобы найти объём пирамиды, давайте сначала разберёмся с данными, которые у нас есть.

У нас есть правильная четырёхугольная призма, основание которой является квадратом со стороной 16√2. Угол между диагональю призмы и её боковой гранью равен 30°. Мы будем использовать эти данные для нахождения объёма пирамиды.

Шаги решения:

1. Найдём диагональ основания призмы:
   • Диагональ квадрата можно найти по формуле: d = a√2, где a - сторона квадрата.
   • В нашем случае: d = 16√2 * √2 = 16 * 2 = 32.
2. Определим высоту боковой грани призмы:
   • Угол между диагональю и боковой гранью равен 30°. Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.
   • Обозначим высоту боковой грани как h. Тогда по определению косинуса: cos(30°) = h / d.
   • Значит, h = d * cos(30°) = 32 * (√3/2) = 16√3.
3. Теперь найдём объём пирамиды:
   • Объём пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.
   • Площадь основания пирамиды равна площади квадрата: S = (16√2)² = 256 * 2 = 512.
   • Теперь подставим значения в формулу: V = (1/3) * 512 * 16√3.
   • V = (512 * 16√3) / 3 = 8192√3 / 3.

Таким образом, объём пирамиды равен 8192√3 / 3 кубических единиц.

К сожалению, я не могу сделать рисунок, но вы можете изобразить квадратное основание, провести диагональ, а затем показать боковые грани, чтобы визуализировать задачу.