Для решения задачи начнем с анализа данных и определения необходимых элементов треугольника АВС.

У нас есть равнобедренный треугольник АВС, где:

• AC = BC = 10
• AB = 12

Сначала найдем высоту треугольника АВС, опущенную из вершины C на основание AB. Обозначим точку H - основание высоты из C на сторону AB. Поскольку треугольник равнобедренный, точка H будет делить отрезок AB пополам. Таким образом, AH = HB = 6.

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты CH:

1. Сначала найдем длину CH:
• По теореме Пифагора: AC^2 = AH^2 + CH^2.
• Подставим известные значения: 10^2 = 6^2 + CH^2.
• 100 = 36 + CH^2.
• CH^2 = 100 - 36 = 64.
• CH = √64 = 8.

Теперь мы знаем, что высота CH равна 8.

Следующий шаг - найти радиус вписанной окружности r треугольника АВС. Для этого воспользуемся формулой:

r = S / p,

где S - площадь треугольника, а p - полупериметр.

Сначала найдем полупериметр p:

1. p = (AC + BC + AB) / 2 = (10 + 10 + 12) / 2 = 16.

Теперь найдем площадь S треугольника АВС. Площадь можно найти по формуле:

S = (AB * CH) / 2 = (12 * 8) / 2 = 48.

Теперь подставим значения в формулу для радиуса вписанной окружности:

1. r = S / p = 48 / 16 = 3.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 3.

Теперь мы знаем, что перпендикуляр DO проходит через центр вписанной окружности O, который находится на расстоянии r от плоскости треугольника АВС. Мы также знаем, что расстояние от точки D до середины стороны AB (точка M) равно 5.

Чтобы найти длину перпендикуляра DO, используем теорему о расстоянии от точки до плоскости:

1. Расстояние от точки D до плоскости равно расстоянию от точки D до точки M плюс расстояние от точки M до точки O (радиус вписанной окружности).
2. Таким образом, длина перпендикуляра DO = DM - r = 5 - 3 = 2.

Следовательно, длина перпендикуляра DO составляет 2.

Ответ: 2