2025-12-02 21:47:14
Точка расположена на ребре C₁D₁ куба ABCD A₁B₁C₁D₁, при этом D₁L : LC₁ = 2 : 3.
- Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку L и параллельна плоскости D₁B₁C.
- Определите площадь этого сечения, если длина ребра куба составляет 10 см.
Кроме того, QABC представляет собой правильный тетраэдр со стороной 4 см. Точка M является точкой пересечения медиан треугольника ABC; точка K находится на отрезке QM, при этом QK : KM = 3 : 1. Через точку K проведена плоскость, параллельная плоскости ABC. Определите периметр сечения, полученного в результате этого.
Необходимо представить решение с рисунком, аргументацией в виде формул, теорем и свойств, оформленным как в тетрадке, без излишнего текста.
Геометрия 10 класс Сечения и объемы тел вращения сечение куба площадь сечения геометрия куба правильный тетраэдр медиана треугольника периметр сечения плоскость параллельная свойства куба решение задачи по геометрии геометрические фигуры Новый
2025-12-02 21:47:51
Решение задачи:
Часть 1: Сечение куба
Дано: куб ABCD A₁B₁C₁D₁ с длиной ребра 10 см. Точка L на ребре C₁D₁ делит его в отношении D₁L : LC₁ = 2 : 3.
1. Определим координаты вершин куба:
- A(0, 0, 0)
- B(10, 0, 0)
- C(10, 10, 0)
- D(0, 10, 0)
- A₁(0, 0, 10)
- B₁(10, 0, 10)
- C₁(10, 10, 10)
- D₁(0, 10, 10)
2. Найдем координаты точки L:
- Длина отрезка D₁C₁ = 10 см.
- Делим отрезок D₁C₁ в отношении 2:3: D₁L = (2/5) * 10 = 4 см, LC₁ = (3/5) * 10 = 6 см.
- Координаты точки L: L(0, 10, 10 - 4) = L(0, 10, 6).
3. Плоскость, проходящая через точку L и параллельная плоскости D₁B₁C, будет иметь уравнение y = 10.
4. Найдем точки пересечения плоскости с гранями куба:
- Пересечение с A₁B₁: (x, 10, 10) для 0 ≤ x ≤ 10.
- Пересечение с A₁D₁: (0, 10, z) для 6 ≤ z ≤ 10.
- Пересечение с B₁C₁: (10, 10, z) для 6 ≤ z ≤ 10.
5. Получаем сечение в виде прямоугольника:
- Длина: 10 см (от A₁B₁).
- Ширина: 4 см (от D₁L до C₁).
6. Площадь сечения:
Площадь = длина * ширина = 10 см * 4 см = 40 см².
Часть 2: Сечение тетраэдра
Дано: правильный тетраэдр QABC со стороной 4 см.
1. Найдем координаты вершин тетраэдра:
- Q(0, 0, 0)
- A(4, 0, 0)
- B(2, 2√3, 0)
- C(2, 2/3, 2√2/3)
2. Точка M - центр масс треугольника ABC:
M = ((4 + 2 + 2)/3, (0 + 2√3 + 2√3)/3, 0) = (2, 4√3/3, 0).
3. Найдем точку K на отрезке QM, где QK : KM = 3 : 1:
K = (3M + Q)/4 = (3(2, 4√3/3, 0) + (0, 0, 0))/4 = (1.5, 3√3/4, 0).
4. Плоскость, проходящая через K и параллельная плоскости ABC, будет иметь уравнение z = 0.
5. Найдем точки пересечения плоскости с гранями тетраэдра:
- Пересечение с AB: (x, 0, 0) для 0 ≤ x ≤ 4.
- Пересечение с AC: (x, y, 0) для 0 ≤ x, y ≤ 4.
- Пересечение с BC: (x, y, 0) для 0 ≤ x, y ≤ 4.
6. Получаем сечение в виде треугольника:
Периметр = AB + AC + BC = 4 + 4 + 4 = 12 см.
Ответы:
- Площадь сечения куба: 40 см².
- Периметр сечения тетраэдра: 12 см.